Презентация - Объём геометрических тел 11 класс

Объём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 классОбъём геометрических тел 11 класс







Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Объём геометрических тел.
Урок в 11 классе Учитель Расихина Л.В. МБОУ СОШ №1 ст. Староминской Краснодарского края

Слайд 2

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H.
A
B
C
S
O
H
O1
h
Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины.
Т.к. ABCA1B1C1, то по свойству площадей подобных фигур :
A1
C1
B1
h [0; H ]

Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

Слайд 3

h
H
Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты.
h [0; H ]

Слайд 4

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.
H
Sосн.1= Sосн.2
V1 = V2
h
Sсеч.1= Sсеч.2

Слайд 5

A
B
C
B1
A1
C1
C
A1
B
Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1. Разобьем её на две части секущей плоскостью (A1BC).
Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе пирамиды с вершиной A1).

Слайд 6

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью (A1C1B) на две треугольные пирамиды: A1BB1C1 и A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1).
A1
C1
B

Слайд 7

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны.
У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A1. Значит, их объемы также равны.

Слайд 8

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:
Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

Слайд 9

h
H
h
Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h:
h [0; H ]
0

Слайд 10

Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды:
S
A3
An
A2
A1
H

Слайд 11

Итак, для любой n-угольной пирамиды:
,где Sосн. – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.