Презентация - История открытия комплексных чисел

История открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чиселИстория открытия комплексных чисел






Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

История открытия комплексных чисел

Слайд 2

Содержание
Натуральные числа Дроби Пифагор Диагональ квадрата несоизмерима со стороной Отрицательные числа Руффини Всякое уравнение n-й степени имеет n корней Числа новой природы Мнимые числа Комплексные числа Использование мнимых чисел Выводы

Слайд 3

Натуральные числа
Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как

Слайд 4

Дроби
Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби.

Слайд 5

Пифагор
учил, что «… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом».

Слайд 6

Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Диагональ квадрата несоизмерима со стороной

Слайд 7

Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Диагональ квадрата несоизмерима со стороной

Слайд 8

Отрицательные числа
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом.

Слайд 9

С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .
Отрицательные числа

Слайд 10

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни:
Отрицательные числа

Слайд 11

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень ( ), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Слайд 12

Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.

Слайд 13

Руффини
Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

Слайд 14

Всякое уравнение n-й степени имеет n корней
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные).

Слайд 15

В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.
Всякое уравнение n-й степени имеет n корней

Слайд 16

Числа новой природы
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида ________,________ , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что __________.

Слайд 17

Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.
Числа новой природы

Слайд 18

В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
Числа новой природы

Слайд 19

Мнимые числа
Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы).

Слайд 20

Комплексные числа
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

Слайд 21

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами.
Комплексные числа

Слайд 22

На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):
Комплексные числа

Слайд 23

С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической.

Слайд 24

Формула Л.Эйлера
С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

Слайд 25

Использование мнимых чисел
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Слайд 26

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.
Использование мнимых чисел

Слайд 27

По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. “Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
Использование мнимых чисел

Слайд 28

Использование мнимых чисел
В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число __________точкой на координатной плоскости.

Слайд 29

Использование мнимых чисел
Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Слайд 30

Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом φ, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , ________ и число z принимает вид который называется тригонометрической формой комплексного числа.
Использование мнимых чисел

Слайд 31

Использование мнимых чисел
Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число φ называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если z =0, значение ArgZ не определено, а при z≠0 оно определено с точностью до кратного 2π. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

Слайд 32

Выводы
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Слайд 33

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
Выводы