Слайды и текст этой онлайн презентации
Слайд 1
Дельтоид
Выполнили: обучающиеся
8 «А» класса ГБОУ
школы-интерната №113
г.о. Самара
Елдышева Дарья,
Левчук Станислав,
Шапкина Алина
Руководитель: Губарева Е.Г.
Слайд 2
Цель: изучить четырехугольник «Дельтоид», описать его свойства и признаки, составить учебное пособие.
Задачи:
Изучить и проанализировать литературу по данной теме.
Сформулировать и доказать свойства и признаки дельтоида.
Составить и решить задачи о дельтоиде.
Продемонстрировать наличие дельтоидов в окружающем нас мире.
Составить тест проверки знаний о дельтоидах.
Слайд 3
Основные понятия
Дельтоид — четырехугольник, у которого есть две пары смежных сторон. Равными являются две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.
Слайд 4
Виды дельтоидов
Существуют два вида дельтоидов: выпуклый и невыпуклый. Все углы выпуклого дельтоида меньше развернутого угла, а один из углов невыпуклого больше развернутого.
Слайд 5
Свойство 1.
Углы дельтоида между сторонами неравной длины равны.
Дано:
АВСD — дельтоид,
ВD — главная диагональ.
Доказать: ∠А = ∠С.
Слайд 6
Рассмотрим треугольники АВС и АDC. У них сторона АС – общая. Стороны АВ = АD,
ВС = СD по условию. Значит, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно ﮮАВС = ﮮАDС. Что и требовалось доказать.
Доказательство свойства 1.
Слайд 7
Свойство 2.
Главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов.
Дано: АВСD - дельтоид,
BD — главная диагональ.
Доказать: BD - биссектриса.
Слайд 8
Из доказательства свойства1 следует, что
∆ АВС = ∆ АDС. Значит ﮮВАС = ﮮDАС,
ﮮВСА = ﮮDСА. Вывод: АС – биссектриса, что и требовалось доказать.
Доказательство свойства 2.
Слайд 9
Свойство 3.
Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом, одна из них делит другую на равные части.
Слайд 10
Рассмотрим ∆ АВС. Он является равнобедренным по условию. Из этого следует, что биссектриса ﮮВ, проведенная к основанию треугольника, является еще высотой и медианой. Следовательно,
ОА = ОС, а диагонали ВD ┴ АС одна из них делится точкой пересечения пополам.
Что и требовалось доказать.
Доказательство свойства 3.
Слайд 11
Свойство 4.
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.
Дано: АВСD — дельтоид.
Вписать:
окружность (О; r).
Слайд 12
Доказательство свойства 4.
Известно, что если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (т.к. АВ = СВ и АD = DС, то АВ + DС = СВ + АD).
По определению дельтоида, это выпуклый четырехугольник, у которого есть только две пары смежных сторон. Значит АВ +DС = АD + ВС.
Точка О пересечение биссектрис СО и АО углов С и А. Следовательно: в дельтоид можно вписать окружность и притом только одну.
Что и требовалось доказать.
Слайд 13
Свойство 5.
Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
Дано: АВСD — дельтоид, L, E, F, M - середины сторон.
Доказать: MLEF - прямоугольник.
Слайд 14
Доказательство свойства 5.
MF║BD и LE ║DB, т.е. MF ║LE
ML ║CA и EF ║CA, т.е. ML ║ EF
CA ┴ BD, значит и ML и EF ┴ MF и LE, отсюда следует, что ﮮМ = ﮮL, ﮮЕ = ﮮF, и ML + EF = CA и MF + LE = BD.
Следует, что периметр = ML + EF + MF +LE = = CA + BD.
Что и требовалось доказать.
Слайд 15
Свойство 6.
Площадь дельтоида определяется по формуле: S = ½ d1 · d2,
d1 и d2 — диагонали.
Дано: АВСD – дельтоид,
d1 – главная диагональ,
d2 – неглавная диагональ.
Доказать:
S = ½ d1 · d2
Слайд 16
Доказательство свойства 6.
Рассмотрим ∆ АDC, он равнобедренный, ОD – высота. Площадь равна высоте умноженной на половину основания. S (ADC) = 0,5∙ DO∙ d2.
Рассмотрим ∆ BCA - равнобедренный, ОB - высота. S (BCA) = 0,5∙ BO∙ d2.
S (ABCD) = S (ADC) + S (BCA) = 0,5∙ DO∙ d2 + +0,5∙ BO∙ d2 = 0,5∙d1∙d2.
Что и требовалось доказать.
Слайд 17
Свойство 7
Периметр дельтоида определяется по формуле
Р = 2·(а + b),
где a и b — смежные неравные стороны дельтоида.
(принимаем без доказательства)
Слайд 18
Свойство 8
Не главная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.
Дано: АВСD -дельтоид.
Доказательство: по определению дельтоида очевидно, что ∆ АВD и ∆ВСD равнобедренные.
Слайд 19
Признак 1.
Если у четырехугольника только одна диагональ, то это дельтоид.
Рассмотрим ΔАВС и ΔАDС. В них углы В и D равны (в силу симметрии), сторона АС — общая . Значит треугольники равны по I признаку и АD = АВ.
Аналогично доказываем ΔСОD = ΔСОВ, DС = ВС.
Вывод: АВСD - дельтоид.
Слайд 20
Признак 2.
Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник - дельтоид.
Слайд 21
Доказательство признака 2.
Дано: четырехугольник АВСD, d1 ┴ d2, AO = OC.
Доказать: АВСD – дельтоид.
Док-во: 1. Рассмотрим ∆ АОD, АВ входит в ∆ АОВ и АО ┴ DВ.
2. Рассмотрим ∆ АОD и ∆ АОВ: АО – общая, ﮮ1 = ﮮ2
∆ АОD = ∆ АОВ, по катету и противолежащему углу, отсюда АD = АВ.
3. DС входит в ∆ СОD и СО ┴ DВ.
4. Рассмотрим ∆ СОD и ∆ СОВ: ОС – общая, ﮮ3 = ﮮ4
∆ СОD = ∆ СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС = ВС.
Слайд 22
Доказательство признака 2.
5. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является медианой и высотой, т.е. АО и СО – медианы, значит DO = OB.
6. DO – перпендикуляр, не является медианой, т.к. ∆ ADC не равнобедренный. Значит ABDC – дельтоид по определению.
Что и требовалось доказать.
Слайд 23
Признак 3.
Если в четырехугольнике одна из двух, взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник – дельтоид.
Слайд 24
Доказательство признака 3.
Дано : четырехугольник АВСD, d1 –биссектриса (ﮮ,1 = 2), ﮮ d2 – не является биссектрисой, d1 ┴ d2.
Доказать: АВСD – дельтоид.
Док-ть: АВ входит в ∆ АОВ и АО ┴ DВ.
2. Рассмотрим ∆ АОD и ∆ АОВ: АО – общая. ﮮ 1 = ﮮ2. т.к. d1 –биссектриса по условию,
∆ АОD = ∆ АОВ, по катету и противолежащему углу, отсюда АD = АВ.
3. DС входит в ∆ СОD и СО ┴ DВ.
Слайд 25
Задача 1
Найдите периметр дельтоида ABCD, если известно,
что : периметр ∆ABD, входящего в состав дельтоида равен 30см.
Диагональ BD = 18см.
Отрезок ОС = 2см.
Решение:
периметр ∆ ABD = 21см.
АВ + АD 30 – 18 = 12.
По теореме Пифагора: АС = 15
(9² + 12² = 15²).
Р (АВСD) = 6 + 6 + 15 + 15 = 66.
Ответ: Р(АВСD) = 66см.
Слайд 26
Задача 2
В параллелограмме АВСD диагональ АС вдвое больше стороны АВ. На стороне ВС выбрана точка К так, что
∆ АDВ = ∆ КDВ.
В каком отношении точка К делит сторону ВС?
Слайд 27
Задача 3
Дано: АВСD – параллелограмм;
АС = 2∙АВ; точка К принадлежит ВС;
∆ АDВ = ∆ КDВ.
Найдите: ВК : СК.
Слайд 28
Решение задачи 2.
Дано: АВСD – параллелограмм; АС = 2АВ; точка К принадлежит ВС; ∆ АDВ = ∆ КDВ.
Найти: ВК/СК.
Решение: 1. Пусть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD. Т.к. ∆ АDВ = ∆ КDВ, то ВК = DК , т.е. КО – высота равнобедренного треугольника ВКD.
2. АО = АВ. Проведем высоту АN равнобедренного ∆ВАО и продолжим ее до пересечения с прямой ВС в точке М. Т.к. N – середина ВО и МN║КО, ВМ = ВК ( по теореме Фалеса). Аналогично О – середина АС и ОК║АМ, то МК = КС. Следовательно, ВК КС = 2 1 .
Слайд 29
История изучения дельтоида
Дельтоида (кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой в 3 раза больше радиуса первой.
Слайд 30
Дельтоид в окружающем нас мире.
Слайд 31
Дельтоидом называют мышцы плеча
Человеческий мозжечок имеет рисунок, который ученые называют (деревом жизни), составной частью которого являются дельтоиды.
Слайд 32
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 1
Выберите верное утверждение.
Если в четырехугольнике главная диагональ – биссектриса противоположных углов, то это дельтоид;
Если в четырехугольнике две стороны равны, то это дельтоид;
Если в четырехугольнике есть пара смежных сторон, то это дельтоид;
Если четырехугольник образован двумя равнобедренными треугольниками, то это дельтоид.
Слайд 33
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 2.
В дельтоиде смежные стороны относятся как 2 : 3. Найдите меньшую сторону, если периметр дельтоида равен 60 см.
6
12
9
10.
Слайд 34
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 3.
Выбери четырехугольник, который может быть выпуклым:
Трапеция
Ромб
Дельтоид
Квадрат
Слайд 35
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 4.
Как называется четырехугольник, у которого только одна диагональ является биссектрисой противолежащих углов?
Трапеция
Дельтоид
Ромб
Прямоугольник
Слайд 36
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 5.
АВСD – дельтоид. Площадь ∆АВС = 45. Площадь ∆ АСD = 55. ∆АВС равносторонний, ∆АСD – равнобедренный. Найдите площадь дельтоида,
60
50
55
100
Слайд 37
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 6.
Выбери верные утверждения:
Средняя линия дельтоида – это линия, соединяющая стороны дельтоида;
Главная диагональ дельтоида – это диагональ, соединяющая вершины неравных углов дельтоида;
Дельтоид – четырехугольник, в котором две пары смежных сторон равны;
Неглавной диагональю дельтоида называется диагональ, соединяющая две его вершины.
Слайд 38
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 7.
Выберите определение дельтоида:
Дельтоид – это четырехугольник, у которого стороны попарно равны;
Дельтоид – это четырехугольник, у которого смежные стороны попарно равны;
Дельтоид – это четырехугольник, у которого у которого диагонали взаимно перпендикулярны;
Дельтоид – это четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны;
Слайд 39
Тест « Знаешь ли ты дельтоид?»
Вопрос 8.
Какого из перечисленных элементов нет у дельтоида?
угол;
Диагональ;
Радиус вписанной окружности;
Радиус описанной окружности.
Слайд 40
Спасибо за внимание