Презентация - Поверхности второго порядка


Нажмите для просмотра
Поверхности второго порядка
На весь экран

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Определение поверхности второго порядка Цилиндрические поверхности Сфера Трехосный эллипсоид Эллиптический параболоид Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Конус второго порядка Гиперболический параболоид

Слайд 2

Определение поверхности второго порядка Поверхность, определяемая уравнением где A,B, H - действительные числа, причем старшие коэффициенты A, B, F не равны нулю одновременно, называется поверхностью второго порядка.

Слайд 3

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ Определение цилиндрической поверхности Уравнение цилиндрической поверхности Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр

Слайд 4

Определение цилиндрической поверхности Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки линии , называется цилиндрической поверхностью При этом линия называется направляющей , а прямые, проходящие через точки кривой параллельно прямой , называется ее образующими. L

Слайд 5

Уравнение цилиндрической поверхности, с образующими параллельными оси OZ Пусть на плоскости дана своим уравнением некоторая линия . Проведем через каждую точку кривой прямую параллельно оси . Тогда получим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными этой оси. Уравнение - уравнение этой поверхности. 0 z x M N L y

Слайд 6

Эллиптический цилиндр

Слайд 7

Гиперболический цилиндр

Слайд 8

Параболический цилиндр

Слайд 9

Эллиптический цилиндр, с образующими, параллельными оси OY Уравнение определяет эллиптический цилиндр с образующими, параллельными оси

Слайд 10

Гиперболический цилиндр, с образующими, параллельными оси OX уравнение определяет гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси .

Слайд 11

Сфера Множество точек пространства , равноудаленных от одной фиксированной ее точки , называется сферой . Её уравнение имеет вид , где точка - центр сферы, - её радиус

Слайд 12

Трехосный эллипсоид

Слайд 13

Рассмотрим вначале линии пересечения этой поверхности с горизонтальными плоскостями , где . В сечении, в общем случае, образуется кривая, определяемая уравнениями Сечение эллипсоида плоскостями z h

Слайд 14

Сечение эллипсоида плоскостями z h , при Ih I c Горизонтальные плоскости , где , не пересекают данной поверхности (в сечении образуются мнимые кривые).

Слайд 15

Сечение эллипсоида плоскостями z h, при Ih I c Рассмотрим сечение Горизонтальной плоскостью , где , то Следовательно, в сечениях и получим точки и .

Слайд 16

Сечение эллипсоида плоскостью z h, при Ih I Если , то . Тогда в сечении горизонтальной плоскостью , где , получим линию где Уравнение на плоскости определяет эллипс с полуосями и

Слайд 17

Сечение эллипсоида плоскостями x h и y h Так как уравнение обладает симметрией относительно переменных и , то в сечениях вертикальными плоскостями где и , где , так же образуются эллипсы или точки.

Слайд 18

Эллиптический параболоид Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением , где При уравнение называется каноническим уравнением эллиптического параболоида

Слайд 19

Сечение эллиптического параболоида плоскостями z h Рассмотрим сечения поверхности горизонтальными плоскостями , где . В сечении, в общем случае, получим линию:

Слайд 20

Сечение эллиптического параболоида плоскостями z h, при h Так как по условию и , то при любых значениях и . Следовательно, при горизонтальные плоскости не пересекают поверхность.

Слайд 21

Сечение эллиптического параболоида плоскостями z h , при h 0 и h 0 При , то есть на плоскости , получим точку . При на плоскости получим линию , где ( ) Уравнение ( ) на плоскости определяет эллипс с полуосями и

Слайд 22

Сечение эллиптического параболоида плоскостями y h Рассмотрим сечение вертикальной плоскостью , где . В сечении получим линию: Уравнение на плоскости определяет параболу с осью симметрии , параметром и вершиной, находящейся в точке .

Слайд 23

Параболоид вращения Если в уравнении , то в сечениях горизонтальными плоскостями образуются окружности. Следовательно, уравнение определяет параболоид вращения с осью симметрии .

Слайд 24

Однополостный гиперболоид Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

Слайд 25

Сечение однополостного гиперболоида плоскостями z h В сечениях горизонтальными плоскостями , где , получим линии где . Таким образом, в сечениях плоскостями образуются эллипсы с полуосями и

Слайд 26

Сечение однополостного гиперболоида плоскостями y h, при Ih I Пусть , где . В сечениях образуются линии Если , то Тогда на плоскости , получим гиперболу , где с действительной полуосью и мнимой .

Слайд 27

Сечение однополостного гиперболоида плоскостями y h , при Ih I b Если , то . Тогда на плоскости получим гиперболу , где с действительной полуосью и мнимой .

Слайд 28

Сечение однополостного гиперболоида плоскостями y h , при Ih I b Если , то . Тогда из уравнения получим пару пересекающихся прямых.

Слайд 29

Сечение однополостного гиперболоида плоскостями x h В сечениях вертикальными плоскостями , где , образуются так же, как и в сечениях , либо гиперболы, либо пара пересекающихся прямых (исследовать самостоятельно).

Слайд 30

Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением

Слайд 31

Сечение двуполостного гиперболоида плоскостями z h , при Ih I Рассмотрим сечения горизонтальными плоскостями , где . В сечениях образуются линии Так как при любых значениях и , то при первое уравнение не выполняется ни при каких и . Следовательно, плоскости , где , не пересекают данную поверхность

Слайд 32

Сечение двуполостного гиперболоида плоскостями z h , при Ih I c Если , то Следовательно, в сечениях плоскостями и образуется пара точек с координатами и .

Слайд 33

Сечение двуполостного гиперболоида плоскостями z h , при Ih I c Если , то . Следовательно, первое уравнение из можно записать в форме где Уравнение является уравнением эллипса с полуосями и .

Слайд 34

Сечение двуполостного гиперболоида плоскостями y h Пусть , где . Тогда в сечениях, получим линии Следовательно, на плоскости при любых значениях образуется гипербола где с действительной полуосью и мнимой полуосью , ориентированная вдоль оси

Слайд 35

Сечение двуполостного гиперболоида плоскостями x h В сечениях вертикальными плоскостями , где , так же образуются гиперболы, ориентированные вдоль оси (исследовать самостоятельно).

Слайд 36

Конус второго порядка Конусом называется поверхность, определяемая уравнением При уравнение называется каноническим уравнением конуса

Слайд 37

Конусы второго порядка с осями симметрии OX и OY Конусы с осями симметрии и соответственно задаются уравнениями

Слайд 38

Гиперболический параболоид