Презентация - Вписанная окружность

Вписанная окружность

Определение: окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности.
Если окружность вписана в треугольник, то треугольник описан около окружности.

Теорема. В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказать: существует Окр.(О;r), вписанная в треугольник
Доказательство:
Проведём биссектрисы треугольника:АА1, ВВ1, СС1. По свойству (замечательная точка треугольника) биссектрисы пересекаются в одной точке – О, и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е :

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность, гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)
,
АС= 6+ r, ВС = 4 + r
По теореме Пифагора: АС2 + ВС2 = АВ2
(6 + r)2 + (4 + r)2 = 102
Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см
Ответ: 2 см

Нужная формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
Доказательство:
Т. к. Окр.(О;r) вписана в треугольник АВС, у которого угол С – прямой, то
АС, ВС, АВ – касательные и
СКОЕ – квадрат, значит, СК = СЕ = r
По свойству касательных: ВЕ = ВМ = а - r
АК = АМ = b - r
AB = AM + BM
c = b – r + a - r
2r = a + b - c
r = ½ (a + b – c)

Окружность, вписанная в четырёхугольник
Определение: окружность называется вписанной в четырёхугольник, если все стороны четырёхугольника касаются её.

Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон четырёхугольника равны ( в любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны).
АВ + СК = ВС + АК.
Обратная теорема: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
( доказательство – в учебнике № 724 )

Задача: в ромб, острый угол которого 600, вписана окружность, радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба.
Решение:

Реши задачи