Презентация - Системы счисления

Системы счисления

Системы счисления
© К.Ю. Поляков, 2007-2012
Тема 1. Введение

3
Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…

4
Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Десятичная египетская система счисления:
– 1 – 10 – 100
– 1000 – 10000 – 100000
– 1000000
чёрта
хомут
верёвка
лотос
палец
лягушка
человек
= ?

5
Непозиционные системы
Римская система счисления: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

6
Римская система счисления
Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644

7
Римская система счисления
Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов номера месяцев

8
Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы Суздальского Кремля

9
Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10
3 7 8
2 1 0
разряды
8
70
300
= 3·102 + 7·101 + 8·100
Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

10
Позиционные системы
Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления X.
в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 переводим правую часть в десятичную систему решаем уравнение
58 = 46x
1 0
58 = 46x
= 4·x1 + 6·x0
= 4·x + 6
58 = 4·x + 6
x = 13

11
Позиционные системы
Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство
в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 переводим в десятичную систему решаем уравнение
16x + 33x = 52x
x = 7
4·x + 9 = 5·x + 2
33x = 3·x + 3

12
Позиционные системы
Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство
в записи есть цифра 3, поэтому x > 3 переводим в десятичную систему решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …)
21x + 32x > 102x
x = 4,5
5·x + 3 > x2 + 2
32x = 3·x + 2

Системы счисления
Тема 2. Двоичная система счисления

14
Перевод целых чисел
Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2
10  2
2  10
19
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 16 + 2 + 1 = 19

15
Примеры:
131 =
1010112 =

16
Метод подбора
10  2
77 = 64 +
77
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
77
64
Разложение по степеням двойки: 77 = 26 + 23 + 22 + 20
+ 8 + …
+ 4 + …
+ 1
77 = 10011012
6 5 4 3 2 1 0
разряды
наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
77 = 126 + 025 + 024 + 123 +122 +021 + 1 20
13
13
5
1
5
1
8
4
1

17
Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=102 1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0 1-0=1 102-1=1
перенос
заем
1 0 1 1 02 + 1 1 1 0 1 12
1

0
0

0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12 – 1 1 0 1 12
1


0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0




18
Примеры:

19
Примеры:

20
Арифметические операции
умножение
деление
1 0 1 0 12  1 0 12
1 0 1 0 12 + 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12 – 1 1 12
1 1 12
1
1 1 12 – 1 1 12
0

Системы счисления
Тема 3. Восьмеричная система счисления

22
Восьмеричная система
Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10  8
8  10
100
100 = 1448
система счисления
1448
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80 = 64 + 32 + 4 = 100

23
Таблица восьмеричных чисел
X10 X8 X2 X10 X8 X2
0 0 000 4 4 100
1 1 001 5 5 101
2 2 010 6 6 110
3 3 011 7 7 111

24
Перевод в двоичную и обратно
8
10
2
трудоемко 2 действия
8 = 23
17258 =
1 7 2 5
001
111
010
1012
{
{
{
{

25
Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

26
Примеры:
1011010100102 =

Системы счисления
Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления

28
Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10  16
16  10
107
107 = 6B16
система счисления
1C516
2 1 0
разряды
= 1·162 + 12·161 + 5·160 = 256 + 192 + 5 = 453
A, 10
B, 11
C, 12
D, 13
E, 14
F 15
B
C

29
Таблица шестнадцатеричных чисел
X10 X16 X2 X10 X16 X2
0 0 0000 8 8 1000
1 1 0001 9 9 1001
2 2 0010 10 A 1010
3 3 0011 11 B 1011
4 4 0100 12 C 1100
5 5 0101 13 D 1101
6 6 0110 14 E 1110
7 7 0111 15 F 1111

30
Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоемко 2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{
1111
0001
10102
{
{

31
Примеры:
C73B16 =
2FE116 =

32
Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16

33
Перевод в восьмеричную и обратно
трудоемко
3DEA16 =
11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
Шаг 2. Разбить на триады:
Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528