Презентация - Фигурные числа

Фигурные числа
Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.
Предполагают, что впервые они появились в VI веке до нашей эры – в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались этими числами
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа


Согласно пифагорейскому учению, в основе мира лежат числа (натуральные).
Арифметика пифагорейцев была поэтому тесно связана с геометрией: они выделяли классы чисел, имеющих одну и ту же форму, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее.
Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть".
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Линейные числа

Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:
линейное число 5
1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Плоские числа

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:
плоское число 6
4,6,8,9,10,12,14,15,...
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Телесные числа

Телесные числа — числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...) и т. д.
телесное число 8
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Треугольные числа



Треугольные числа — это такие числа, из которых (имея столько камушков) можно выложить правильные треугольники.
1
3
6
10
15
21
1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 , 1 +2+3+4+5+6=21
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Квадратные числа




квадратные числа получаются при выкладывании из камушков квадратов. Вот они какие: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т. д.
Второй- это два ряда, каждый из двух камушков: 2*2=4. Третий - три ряда по три камушка: 3*3=9. Четвертый- 4 ряда по 4 камня: 4*4=16. Неспроста про числа 2*2, 3*3, 4*4 говорят "два в квадрате", "три в квадрате", "четыре в квадрате"!
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Пятиугольные числа



Можно рассматривать и шестиугольные, и семиугольные числа, и вообще, числа, возникающие при складывании разнообразных многоугольников, с разными сторонами или с одинаковыми.
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Кубические числа


Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000 и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Пирамидальные числа




Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа

Если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab:  автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab.
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1670) так называемую «золотую теорему»: Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел; Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел; Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел: и т. д. Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа

 Квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа

Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это- развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа

Даже в XVII века, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных целей- бытовых расчетов, вспомогательных вычислений , - но никак не для благородных научных трудов.
Один из крупнейших математиков того времени, Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с ее помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические выкладки заменял рассуждениями с геометрическими фигурами.
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Фигурные числа

Почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной: куб - фигура с одинаковыми длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2*2*2*2 камушков
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com

Квадратное число находится по формуле: Nкв.=п х п Треугольное число находится по формуле: Nтр.=п(п-1):2 Пятиугольные числа находятся по формуле: Nпят.=п+3п(п-1):2
материал подготовлен для сайта matematika. ukoz. com