Презентация - Схема Бернулли

Схема Бернулли

Независимые повторные испытания. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми повторными испытаниями. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность .

Независимые повторные испытания. Примеры: Подбрасываем игральный кубик n раз. Выпадение числа очков от 1 до 6 происходит с вероятностью 1/6 в каждом из испытаний; Приобретаем n лотерейных билетов. Для каждого из лотерейных билетов вероятность выигрыша есть величина постоянная; Подбрасывается n раз монета. Выпадение орла или решки происходит с вероятностью в каждом испытании. Пример 1 и примеры 2,3 отличаются друг от друга тем, что в первом примере возможно появление 6-ти событий, а во втором и третьем – появление только 2-х событий: выиграл - не выиграл, орел – решка, т.е. условно можно назвать такие исходы «успех – неуспех». Такие испытания называются испытаниями Бернулли .

Независимые повторные испытания. Независимые повторные испытания, в каждом из которых возможно появление события А (успех) с постоянной вероятностью p или непоявление события А (неуспех) с постоянной вероятностью q 1-p , называются испытаниями Бернулли или схемой Бернулли. Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) .

Формула Бернулли. Пусть производится n испытаний Бернулли. Вероятность того, что в этих испытаниях событие А произойдет ровно m раз можно найти по формуле Бернулли: n – число испытаний p – вероятность появления события А в одном испытании q 1-p - вероятность не появления события А в одном испытании Р n (m) – вероятность того, что событие А появится ровно m раз в n испытаниях

Формула Бернулли. Решение. Обозначим А- расход не превысит норму. По условию n 7 , m 4 , p 0.75, q 1-p 0,25 По формуле Бернулли: Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии в течении четырех суток не превысит норму. Ответ: вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии в течении четырех суток не превысит норму равна 0,1969 0,172

Формула Бернулли Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одному из них 2 партии из 4-х или 3 партии из 6-ти? Решение. Найдем вероятность выиграть одному из них 2 партии из 4-х: n 4, m 2, p 1/2, q 1/2. По формуле Бернулли: 2) Найдем вероятность выиграть одному из них 3 партии из 6-ти: n 6 , m 4 , p 1/2, q 1/2. По формуле Бернулли: Сравним полученные результаты: т.к. 3/8 5/16, то вероятнее выиграть одному из них 2 партии из 4-х.

Формула Бернулли Пример. Исследование инкубации яиц яичного кросса Беларусь-9 показало, что цыплята выводятся в среднем из 70% заложенных в инкубатор яиц. Из общего количества заложенных в инкубатор яиц случайным образом отобраны и помечены 6. Найти вероятность того, что из помеченных яиц выведутся: менее трех цыплят P 6 (m 3) ; более трех цыплят P 6 (m 3) ; не менее трех цыплят P 6 (m 3) ; не более трех цыплят P 6 (m 3) ; (0,07047) (0,74431) (0,92953) (0,25569)

Наивероятнейшее число появлений события. Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных. Решение . Вероятность изготовления бракованной детали Р 1 - 0,8 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли: P 5 (0) 0,32768; P 5 (3) 0,0512; P 5 (1) 0,4096; P 5 (4) 0,0064; P 5 (2) 0,2048; P 5 (5) 0,00032. Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами ( m , P n (m) ). Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распределения вероятностей.

Наивероятнейшее число появлений события. Рассматривая многоугольник распределения вероятностей мы видим, что есть такие значения m (в данном случае, одно - m 0 1), обладающие наибольшей вероятностью Р n (m) . 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 m 0 P n (m)

Наивероятнейшее число появлений события. Число m 0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим , если вероятность осуществления этого события Р n ( m 0 ) по крайней мере не меньше вероятностей других событий Р n (m) при любом m . Для нахождения m 0 используется двойное неравенство: n p - q m 0 n p p

Наивероятнейшее число появлений события. Пример. В результате многолетних наблюдений вероятность дождя 21 июля в городе N составляет 0,3. Найти наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет. Решение. По условию: p 0.3, q 0.7, n 30. n p - q m 0 n p p 0.3 30 – 0.7 m 0 0.3 30 0.3 8.3 m 0 9.3 m 0 9 Ответ: наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет равно 9. Т.е. вероятнее всего 9 раз за 30 лет 21 июля будет дождливым.

Приближённые формулы в схеме Бернулли. Локальная теорема Лапласа.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если n 50, m 30, р 0,1, то для отыскания вероятности P 30 (50) надо вычислить выражение Нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. В этом случае применяются приближённые ( асимптотические) формулы, которые позволяют приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Приближённые формулы 1. Локальная формула Муавра-Лапласа ( n 10, p 0,1 ). 2. Формула Пуассона ( n 10, p ) 3. Интегральная формула Муавра-Лапласа

Локальная формула Муавра- Лапласа ( n p q 10) . . Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р n ( m ) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) где

Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции : 1. Функция является четной, т.е. . 2. Функция — монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при (Практически можно считать, что уже при х 5 ).

npq 400 0,8 (1—0,8) 64 10 ; . По таблице найдем Пример . В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники. Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна n 400, m 300, р 80/100 0,8 ( 0,1) , q 1- p 0,2 .

Формула Пуассона ( λ 10 ) . Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз приближенно равна где Формулу Пуассона можно применять при λ 10. Существуют статистико-математические таблицы для распределения Пуассона.

Существуют статистико-математические таблицы для распределения Пуассона.

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета ( в году 365 дней ) ? Решение. n 1825, m 4 , р 1/365( ) - вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, λ n р 1825 (1/365 ) 5 10, то применяем формулу Пуассона: По таблицам можно точнее и быстрее найти Р( m, λ ) . Так для данного примера P 1825 (4) P(m, λ ) P(4,5) 0.17547. Ответ: вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета равна 0, 17547 .

Интегральная теорема Лапласа ( n p 10 ) Интегральная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна где

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа. Свойства функции Ф(х) : Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) - Ф(х). Функция Ф(х) монотонно возрастающая, (практически можно считать, что уже при х 5 , Ф(х) 0,5).

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Необходимо найти вероятность того, что из 400 семей от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. Решение. n 400, a 300, b 360, р 80/100 0,8 , q 1-p 0,2 , a , значит, можно применить интегральную теорему Лапласа. ; . По таблице: Ф (-2,5) -Ф (2,5) -0,4938, Ф (5) 0,499997; Тогда . Ответ: вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники равна 0,993793.

Независимые повторные испытания. Схема Независимые повторные испытания n невелико, р (или q) не очень мало n велико, р (или q) не очень мало n велико, р (или q) очень мало Формула Бернулли Формула Лапласа Формула Пуассона Таблица для φ ( x) Таблица для Ф( x) Таблица функции Пуассона npq 10 np 10 n p - q m 0 n p p Наивероятнейшее число npq 10

Независимые повторные испытания. Задачи. Задача 1. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520. Задача 2. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из шести малых предприятий за время t сохранятся: а) два; б) более двух. Задача 3. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов.