Презентация - Признаки делимости на 2, 5, 10

Проект по математике «Признаки делимости на 2, 5, 10»
Проект выполнил: ученик 6 «Б» класса МАОУ СШ № 8 Ахмедов Тимур Руководитель : учитель математики Толкачева Н.С. с.п. Новосмолинский, 2021

Актуальность темы: Именно с помощью признаков делимости  легко можно ответить на вопрос «Делится ли нацело число а  на число в?». Также признаки делимости помогают находить НОК (Наименьшее Общее Кратное) и НОД (Наибольший Общий Делитель). Объект исследования: делимость чисел. Основополагающий вопрос: Есть ли признаки делимости на другие числа, кроме как на 2, 5, 10? Цель проекта: Изучить дополнительные признаки делимости. Задачи проекта: 1)повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10, изучаемые в школе; 2)изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел; Гипотеза: Если есть признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Важно:
Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

Признаки делимости
Правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление.

История
Признаки делимости на 2, 5, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.

В III веке до нашей эры александрийский ученный Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признаки делимости на 2
Признак делимости на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными. Пример: делится ли на 2 число 216514? Так как его последняя цифра делится на 2, т.е. это число чётное, то оно делится на 2.

Признаки делимости на 5
Признак делимости на 5: 10 делится на 5. Любое число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5, потому что мы можем представить его в виде суммы десяток. Например: 40 делится на 5, потому что 40 = 10 + 10 + 10 + 10 Многозначное число, которое не оканчивается на цифру 0, можно представить как сумму числа с последней цифрой 0 и единиц. Например: 425 = 420 + 5, 428 = 420 +8 425 делится на 5, так как два слагаемых (420 и 5) делятся на 5 428 не делится на 5, потому что одно из слагаемых (8) не делится на 5

Признаки делимости на 10
Признак делимости на 10: Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль. Пример: делится ли на 10 число 7645300? Так как это число оканчивается на ноль, то оно делится на 10.

Признаки делимости на 4, 8, 25
В процессе изучения я обнаружил, что когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25.

Признаки делимости на 4
Признаки делимости на 4: Число делится на 4, если 2 последние его цифры делятся на 4. Пример: 135 456 делится на 4, т.к. 56 : 4 = 14 135 456: 4= 33864

Признаки делимости на 8
Признак делимости на 8: Число делится на 8 три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на 8. Пример: 21 952 делится на 8, т.к. 952 : 8 = 119 21 952 : 8 = 2744

Признаки делимости на 25
Признаки делимости на 25: Число делится на 25 число образованное его последними двумя цифрами делится на 25. Пример: 652 475 делится на 25, т.к. 75 делится на 25 625 475: 25=25 019

Вывод
Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Я рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Заключение
В процессе работы я познакомилася с историей развития признаков делимости. Сам правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 25, чему нашел подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедился в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел, что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Спасибо за внимание