Презентация - Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел
Выполнила: Стариннова Анастасия ученица 6 «а» класса Руководитель: Толкачева Наталья Сергеевна, учитель I квалификационной категории МАОУ СШ № 8 с.п. Новосмолинский

На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и на 10. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 13 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач. Мы заинтересовались историей делимости чисел. Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?

Цель: узнать, не выполняя деления, делится ли число на … Задачи: изучить историю математики о делимости чисел узнать признаки делимости на натуральные числа от 2 до 25

История математики о делимости чисел
Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду. Эратосфен (около 275–194 до н. э.) - один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами - ему принадлежат интересные исследования в области математики, астраномии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач. Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа. Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.  Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами.

Признак делимости на 4
Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится. Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля. Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.
Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.

Признак делимости на 6
Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится. Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3. Число 315 не может быть разделено на 6, в виду того, что оно не делится на 2, но делится на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7. Число 672 делится на 7, так как 67–(2*2)=63,число 63 делится на 7. Число 587 не делится на 7, так как 58-(7*2)=44, число 44 не делится на 7.

Признак делимости на 8
Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится. Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями. Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8. Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8. Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.

Признак делимости на 11
Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Разберемся на примере: Проверим, делится ли число 90 904 на 11 без остатка. 1. Вычислим сумму цифр на нечетных местах:9 + 9 + 4 = 22 2. Сумма цифр на четных местах:0 + 0 = 0 3.Вычислим разницу между суммами цифр, которые стоят на нечетных и четных местах.22 − 0 = 22 4. Проверим, делится ли число 22 на 11 без остатка.22 : 11 = 2 Значит число 90 904 делится на 11 без остатка.

Признак делимости на 12
Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и делится на 4. Число 948 делится на 12, так как 9+4+8=21, 21 делится на 3 и 48 делится на 4. Число 548 не делится на 12, так как 5+4+8=17, 17 не делится на 3, а 48 делится на 4.

Признак делимости на 13
Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры.  Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13. Число 5967 делится на 13, так как 596+(7*4)=624, 62+(4*4)=78, 7+(8*4)=39, 39 делится на 13.

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда когда, оно делится на 2 и на 7. Например: 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14. Признак делимости на 15 Число делится на 15, тогда когда это число делится на 3 и на 5. Число 885 делится на 15, так как это число делится на 5 и 8+8+5=21 делится на 3.

Признак делимости на 16
1-й признак делимости на 16 Натуральное число делится без остатка на 16: — если последние четыре цифры в его записи образуют число, которое делится на 16; — если его запись оканчивается четырьмя нулями. 2-й признак делимости на 16 Натуральное число делится на 16 без остатка, если сумма — цифра из разряда тысяч, умноженная на 8, плюс цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 10, плюс цифра из разряда единиц, — делится на 16.

Признак делимости на 17
Натуральное число  делится на 17, если разность — это число без его последней цифры минус его последняя цифра, умноженная на 5, — делится на 17. Признак делимости на 18 Число делится на 18 тогда, когда число делится на 2 и на 9. Число 702 делится на 18, так как это число делится на 2 и 7+0+2=9 делится на 9. Признак делимости на 19 Чтобы число делилось на 18 нужно: зачеркнуть последнюю цифру и к полученному числу прибавить число, равное удвоенной зачеркнутой цифре. Повторить до получения числа меньше 19. Число 893 делится на 18, так как 89+(3*2)=95, 9+(5*2)=19.

Признак делимости на 20
Если запись натурального числа оканчивается цифрой нуль и предпоследняя цифра в записи — четная, то такое число делится без остатка на 20. Признак делимости на 21 Натуральное число делится на 21, если 1) сумма цифр этого числа делится на 3; 2) разность между числом без его последней цифры и удвоенной последней цифрой, делится на 7.

Признак делимости на 22
Число делится на 22, если делится на 2 и на 11. Признак делимости на 23 Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23. Признак делимости на 24 1-й признак делимости на 24 Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3 и три последние цифры в его записи образуют число, которое делится на 8.

2-й признак делимости на 24 Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3, и сумма —  цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 2, плюс цифра из разряда единиц — делится на 8. Признак делимости на 25 Если запись натурального числа заканчивается следующими цифрами: 00, 25, 50 или 75, то такое число делится на 25 без остатка.

Спасибо за внимание!