Презентация - Объем пирамиды

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
Пусть S - площадь основания пирамиды, h - ее высота, тогда объем вычисляется по формуле

Задача 1
Найдите объем четырехугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой являются вершины единичного куба.
На рисунке изображена прямоугольная пирамида, значит ее высотой будет ребро куба, которое равно 1.
Основанием пирамиды служит квадрат со стороной равной 1. Площадь квадрата равна его стороне в квадрате.
Ответ: 1/3.

Задача 2
Найдите объем треугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой являются вершины единичного куба.
Здесь также дана прямоугольная пирамида, ее высота также является ребром куба, равное 1.
Но в основании уже не квадрат, а его половина – прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами равными по 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Ответ: 1/6.

Задача 3
Вершинами пирамиды являются все вершины одного основания и одна вершина другого основания призмы. Какую часть объема призмы составляет объем пирамиды?
Так как основания пирамиды и призмы совпадают, а вершина пирамиды лежит в плоскости верхнего основания призмы, то высоты этих многогранников равны (подумайте почему).
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту, тогда как объем пирамиды – одной трети от этого же произведения:
Ответ: 1/3.

Задача 4
Найдите объем пирамиды, высота которой 3, а в основании - прямоугольник со сторонами 1 и 2.
Высота по условию известна. В основании прямоугольник, площадь которого равна произведению сторон.
Ответ: 2.

Задача 5
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 1, высота – 2.

Задача 6
В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро 5 м. Найдите ее объем.
Пирамида правильная, значит ее высота падает в точку пересечения диагоналей квадрата в основании.
Ответ: 32 м3.

Задача 7
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 1, а угол между боковой гранью и основанием 45о. Найдите объем пирамиды.
Пирамида правильная, значит ее высота падает в центр шестиугольника – точку О. Отрезок SH является апофемой.
∆СOH – прямоугольный, причем ОС равно стороне шестиугольника, а СН половине. Тогда по теореме Пифагора
О
Н
∆SOH – прямоугольный и равнобедренный, - высота пирамиды.
В основании правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле кв. ед.
куб. ед
Ответ:

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Пусть - площадь верхнего основания, - площадь нижнего основания усеченной пирамиды, h - ее высота.

Упражнение 8
ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная четырехугольная пирамида. АВ = 8, А1В1 = 6. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45о. Найти площадь боковой и полной поверхности.
Отрезок КК1 является апофемой пирамиды, чтобы его найти, рассмотрим трапецию ОО1К1К.
Она прямоугольная, т. к. ОО1 – высота пирамиды, угол при основании ОКК1 = 45о, О1К1 = ½ А1В1 = 3, ОК = ½ АВ = 4.
Проведем в этой трапеции высоту К1Н, которая также является высотой пирамиды, тогда КН = ОК – О1К1 = 4 – 3 = 1.
Так как угол ОКК1 = 45о, то треугольник К1КН – прямоугольный и равнобедренный, а, значит, К1Н = 1 – высота пирамиды.
кв. ед., кв. ед.
куб. ед.
Ответ:

Упражнение 9
Объем правильной усеченной треугольной пирамиды равен 183 куб. см, площади оснований равны 16 кв. см и 25 кв. см. Найдите высоту этой пирамиды.
Подставим все известные данные в формулу объема:
.
Выразим высоту из полученного соотношения:
см.
Ответ: 9.