Презентация - Система быстрого счета по Трахтенбергу

МКОУ «Захаровская СОШ» Клетского района Волгоградской области
Авторы: Фомина Ирина – 7 класс Рыжкова Ангелина – 7 класс Руководители: Могутова Татьяна Михайловна Дерюшкина Оксана Валерьевна

«Не знающие пусть научатся, а знающие вспомнят еще раз» Яков Трахтенберг

Профессор Трахтенберг
Яков Трахтенберг еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок.

Умножение на 11
Основные правила умножения на 11 заключаются в следующем: Последующая цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата. Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат. Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг. По системе Трахтенберга вы пишите результат, по одной цифре справа налево, точно так, как вы это делали ранее.

633 · 11 = 6963 Сначала мы должны перед данным числом написать нуль или, по крайней мере, представить себе, что там находится нуль. Без нуля в начале числа мы могли бы забыть написать последнюю цифру и думать, что ответ равен только 963. Затем мы применяем идею «прибавления соседа» поочередно к каждой цифре данного числа: Первый шаг: последнюю цифру 3 числа записываем в качестве правой цифры. Второй шаг: последующая цифра складывается со своим правым соседом и записывается под правым числом. 3 + 3 = 6 Третий шаг: последующая цифра складывается со своим правым соседом и записывается под правым числом. 6 + 3 = 9 Четвертый шаг: первая цифра 6 числа становится первой левой цифрой числа.
98834 · 11 = 1087174 Первый шаг: Последнюю цифру числа 4 записываем в качестве правой цифры. Второй шаг: последующую цифру 3 складываем со своим правым соседом 4, 3 + 4 = 7, 7 пишем следующей цифрой влево. Третий шаг: последующую цифру 8 складываем со своим правым соседом, 8 + 3 = 11, 1 пишем, 1 переносим. Четвертый шаг: последующую цифру 8 складываем со своим правым соседом, 8 + 8 + 1 (1 - перенос) = 17, 7 пишем, 1 переносим. Пятый шаг: последующую цифру 9 складываем со своим правым соседом, 9 + 8 + 1 (1 - перенос) = 18. 8 пишем, 1 переносим. Шестой шаг: последующую цифру 0 складываем со своим правым соседом 0 + 9 + 1 (1 - перенос) = 10, первая цифра числа 10.

Умножение на 12
Правило умножения на 12 заключается в следующем: Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее «соседа». В отличие от умножения на 11. Теперь каждую цифру удваиваем, прежде чем прибавлять к ней «соседа»

63247 · 12 = 758964 Первый шаг: последнюю цифру 7 числа умножим на 2, 7 · 2 = 14, 4 пишем, 1 переносим. Второй шаг: последующую цифру 4 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право и прибавим 1 (перенос), 4 · 2 + 7 + 1 (1 - перенос) = 16, 6 пишем, 1 переносим. Третий шаг: последующую цифру 2 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право и прибавим 1 (перенос), 2 · 2 + 4 + 1 (1 - перенос) = 9. Четвертый шаг: последующую цифру 3 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право, 3 · 2 + 2 = 8. Пятый шаг: последующую цифру 6 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право, 6 · 2 + 3 = 15, 5 пишем, 1 переносим. Шестой шаг: последующую цифру 0 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право и прибавляем 1 (перенос), 0 · 2 + 6 + 1 (перенос) = 7, 7 первая цифра.
413 · 12 = 4956 Первый шаг: последнюю цифру числа 3 х 2 = 6, 6 становиться последней цифрой числа. Второй шаг: последующую цифру 1 умножаем на 2 и прибавляем «соседа» с право, 1 · 2 + 3 = 5, 5 – последующая цифра числа. Третий шаг: последующую цифру 4 умножаем на 2 и прибавляем «соседа» с право, 4 · 2 + 1 = 9, 9 – последующая цифра числа. Четвертый шаг: последующую цифру 0 умножаем на 2 и прибавляем «соседа» с право, 0 · 2 + 4 = 4, 4 – первая цифра произведения

Умножение на 9
Правило умножения на 9: Вычитаем правую цифру большого числа из десяти. Это дает правую цифру результата. Возьмем поочередно каждую из следующих цифр самой последней, вычитаем ее из 9 и прибавляем соседа. В последнем шаге, когда будем рассматривать цифру 0, стоящую перед длинным числом, вычитаем из соседа, и полученное число будет самой левой цифрой результата.

08769 · 9 = 78921 Первый шаг: 10 – 9 = 1, 1 пишем первой правой цифрой. Второй шаг: 9 – 6 + 9 = 12, 2 следующая цифра влево, 1 переносим. Третий шаг: 9 – 7 + 6 + 1 (1- перенос) = 9, 9-следующая цифра влево. Четвертый шаг: 9 – 8 + 7 = 8, 8 следующая цифра влево. Пятый шаг: это последний шаг; мы рассматриваем самую левую цифру – нуль поэтому, 8 – 1 + 0 = 7, 7 - первая цифра произведения.
4348 · 9 = 39132 Первый шаг: 10 – 8 = 2, 2 пишем первой правой цифрой. Второй шаг: 9 – 4 + 8 = 13, 3 следующая цифра влево, 1 переносим. Третий шаг: 9 – 3 + 4 + 1 (1- перенос) = 11, 1-следующая цифра влево, 1 переносим Четвертый шаг: 9 – 4 + 3 + 1 = 9, 9 следующая цифра влево. Пятый шаг: это последний шаг; мы рассматриваем самую левую цифру – нуль поэтому, 3 - первая цифра произведения.

Умножение на 8
Правило умножения на восемь: 1. Первая цифра: вычтите из 10 и удвоите. 2.Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа. 3. Последняя (левая) цифpa: вычтите 2 из самой левой цифры большого числа

Умножение на 6
Правило умножения на 6: Прибавьте к каждой цифре "половину” "соседа” и еще 5 в том случае, если цифра четная и не имеет "соседа”; напишем ее снизу. Является ли "сосед” четным или нечетным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на "цифру”: если она четная, прибавляем к ней "половину” "соседа”, если нечетная, то, кроме "половины” "соседа”, прибавляем еще 5.

622084· 6 = 3732504 Первый шаг: последнюю цифру записываем в качестве правой цифры числа, т.к. 4 четная цифра. Второй шаг: 8 четная цифра, 8 + 4 : 2 = 10, 0 пишем, а 1 переносим. Третий шаг: 0 четная цифра, 0 + 8 : 2 + 1 (1 - перенос) = 5, 5 следующая цифра влево. Четвертый шаг: 2 четная цифра, 2 + 0 : 2 + 1 (1 - перенос) = 2, 2 следующая цифра влево. Пятый шаг: 2 четная цифра, 2 + 2 : 2 = 3, 3 следующая цифра влево. Шестой шаг: 6 четная цифра, 6 + 2 : 2 = 7, 7 следующая цифра влево. Седьмой шаг: 0 -четная цифра, 0 + 6 : 2 = 3, 3 первая цифра произведения.
443052 · 6 = 2658312 Первый шаг: последнюю цифру записываем в качестве правой цифры числа, так как 2 – четная цифра. Второй шаг: 5 нечетная цифра, 5 + 5 + 2 : 2 = 11, 1 писем, 1 сносим. Третий шаг: 0 четная цифра, 0 + 5 : 2 + 1 (1 - перенос) = 3, 3 следующая цифра влево. Четвертый шаг: 3 нечетная цифра, 3 + 5 + 0 : 2 = 8, 8 следующая цифра влево. Пятый шаг: 4 четная цифра, 4 + 3 : 2 = 5, 5 следующая цифра влево. Шестой шаг: 4 четная цифра, 4 + 4 : 2 = 6, 6 следующая цифра влево. Седьмой шаг: 0 четная цифра, 0 + 4 : 2 = 2 , 2 первая цифра произведения.

Умножение на 7
Правило умножения на 7 очень похоже на правило умножения на 6: Мы смотрим только на "цифру”: если цифра четная, прибавляем к ней "половину” "соседа”, если цифра нечетная, то, кроме "половины” "соседа”, прибавляем еще 5.

4242 · 7 = 29694 Первый шаг: 2 четная цифра, 2 · 2 = 4, 4 пишем в качестве правой цифры. Второй шаг: 4 четная цифра, 2 : 2 + 4 · 2 = 9, 9 следующая цифра влево. Третий шаг: 2 четная цифра, 4 : 2 + 2 · 2 = 6, 6 следующая цифра влево. Четвертый шаг: 4 четная цифра, 2 : 2 + 4 · 2 = 9, 9 следующая цифра влево. Пятый шаг: 0 четная цифра, 4 : 2 + 0 = 2, 2 первая цифра произведения.
3412 · 7 = 23884 Первый шаг: 2 четная цифра, 2 · 2 = 4, 4 пишем в качестве правой цифры. Второй шаг: 1 нечетная цифра, 2 : 2 + (1 · 2 + 5) = 8, 8 следующая цифра влево. Третий шаг: 4 четная цифра, 1 : 2 + 4 · 2 = 8, 8 следующая цифра влево. Четвертый шаг: 3 нечетная цифра, 4 : 2 + (3 · 2 + 5) = 13, 3 пишем 1 сносим. Пятый шаг: 0 четная цифра, 3 : 2 + 1 (1 - перенос) = 2, 2 первая цифра произведения

Умножение на 5
Вместо того чтобы прибавлять цифру, или удваивать её мы используем цифру только для того, чтобы определить её четность или нечетность. Если цифра нечетная, берём половину «соседа» и прибавляем 5; если цифра четная, пишем половину «соседа».

0426 · 5 = 2130 Число состоит из четных цифр. Первый шаг: последняя цифра числа, 6 четная, поэтому правая цифра будет 0. Второй шаг: 2 четная цифра, 6 : 2 = 3, 3 следующая цифра влево. Третий шаг: 4 четная цифра, 2 : 2 = 1, 1 следующая цифра влево. Четвертый шаг: 0 четная цифра, 4 : 2 = 2, 2 - первая цифра произведения.
0735 · 5 = 3675 Число состоит из нечетных цифр. Первый шаг: последняя цифра числа, 5 нечетная цифра, 5 первая цифра числа. Второй шаг: 3 нечетная цифра, 5 : 2 = 2, 2 + 5 = 7, 7- следующая цифра влево. Третий шаг: 7 нечетная цифра, 3 : 2 = 1, 1 + 5 = 6, 6 - следующая цифра влево. Четвертый шаг: 0 четная цифра, 7 : 2 = 3, 3 - первая цифра произведения.

Умножение на 4
Полностью правила таковы: Вычислите самую правую цифру данного числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная. Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечетная, и прибавьте половину соседа. Напишите под нулем перед заданным числом половину соседа этого нуля минус 1.

020684 · 4 = 82736 Первый шаг: 4 четная цифра, 10 – 4 = 6, 6 пишем в качестве правой цифры. Второй шаг: 8 четная цифра, 9 – 8 = 1, 4 : 2 = 2, 1 + 2 = 3, 3 пишем следующей цифрой влево. Третий шаг: 6 четная цифра, 9 – 6 = 3, 8 : 2 = 4, 3 + 4 = 7, 7 пишем следующей цифрой влево. Четвертый шаг: 0 четная цифра, 9 – 2 = 7, 6 : 2 = 3, 9 + 3 = 12, 2 пишем, 1 переносим. Пятый шаг: 2 четная цифра, 9 – 2 = 7, 0 : 2 = 0, 7 + 0 + 1 (1- перенос) = 8, 7 пишем следующей цифрой влево. Шестой шаг: 0 четная цифра, 0 – 1 = -1, 2 : 2 = 1, -1 + 1 = 0, 0 первая цифра произведения. Седьмой шаг: 0 четная цифра, 0 – 1 = -1, 3 : 2 = 1, -1 + 1 + 1 (1-перенос) = 1, пишем первой цифрой числа.
0365187 · 4 = 1460748 Первый шаг: 7 нечетная цифра, 10 – 7 + 5 = 8, 8 пишем в качестве правой цифры. Второй шаг: 8 четная цифра, 9 – 8 = 1, 7 : 2 = 3 (0,5 - отбрасываем), 1+ 3 = 4, 4 пишем следующей цифрой. Третий шаг: 9 – 1 + 5 = 13, 8 : 2 = 4, 13 + 4 = 17, 7 пишем, 1 переносим. Четвертый шаг: 9 – 5 + 5 = 9, 1 : 2 = 0, 9 + 0 + 1 (1 - перенос) = 10, 0 пишем, 1 переносим. Пятый шаг: 9 – 6 = 3, 5 : 2 = 2, 3 + 2 + 1 (1 - перенос) = 6. 6 пишем следующей цифрой. Шестой шаг: 9 – 3 + 5 = 11, 6 : 2 = 3, 11 + 3 = 14, 4 пишем, 1 переносим. Седьмой шаг: 0 четная цифра, 0 – 1 = -1, 3 : 2 = 1, -1 + 1 + 1 (1 - перенос) = 1, 1 первая цифра числа.

Умножение на 3
Правило умножения на три выглядит следующим образом: Первая цифра: вычтем ее из 10 и удвоим. Если цифра не четная то прибавим. Средние цифры: вычтем из 9 и удвоим, затем прибавим половину соседа и 5, если цифра не четная. Самая левая цифра: разделим на 2 самую левую цифру большого числа и вычтем 2.

02588 · 3 = 7764 Первый шаг: (10 - 8) · 2 = 4, 4 пишем в качестве первой правой цифры числа. Второй шаг: (9 - 8) · 2 + 8 : 2 = 4, 2 + 4 = 6, 6 пишем следующей цифрой влево. Третий шаг: 9 – 5 = 4 · 2 = 8 + 5 = 13, 8 : 2 = 4, 13 + 4 = 17, 7 пишем, 1 переносим. Четвертый шаг: 9 – 2 = 7 · 2 = 14, 5 : 2 = 2, 14 + 2 + 1 (1 - перенос) = 17, 7 пишем, 1 переносим. Пятый шаг: 0 – 1 = -2, 2 : 2 = 1, -2 + 1 + 1 (перенос) = 0.
04568 · 3 = 103704 Первый шаг: (10 - 8) · 2 = 4, 4 пишем в качестве первой правой цифры числа. Второй шаг: (9 - 6) · 2 + 8 : 2 = 10, 0 пишем следующей цифрой влево. Третий шаг: (9 – 5)·2 +6 : 2 + 1 = 17, 7 пишем, 1 переносим. Четвертый шаг: (9 – 4)·2 +5 : 2 + 1 = 10 +2 +1 = 13, 3 пишем, 1 переносим. Пятый шаг: 0 – 1 = -2, 2 : 2 = 1, -2 + 1 + 1 (перенос) = 0. .