Презентация - Математика древнего Египта

математика древнего Египта
Наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера. Это что-то вроде задачников, где даны решения разных практических задач.
(c) Коробейникова Н.А.
материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

московский папирус
Древнейшая математическая рукопись Египтян написана около 4000 тысяч лет назад. Папирус был найден русским египтологом Владимиром Семеновичем Голенищевым и хранится в Москве – в музее изобразительного искусства имени А.С. Пушкина.
(c) Коробейникова Н.А.
материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

папирус Ахмеса
Другой математический папирус, написанный лет на двести-триста позднее Московского, хранится в Лондоне. Он называется: „Наставление, как достигнуть знания всех тёмных вещей, всех тайн, которые скрывают в себе вещи…» Рукопись так и называют „папирусом Ахмеса", или папирусом Райнда — по имени англичанина, который разыскал и купил этот папирус в Египте.
(c) Коробейникова Н.А.

Древние египтяне так же, как и мы сейчас считали десятками. Для записи чисел египтяне использовали картинки-иероглифы    Все остальные числа составлялись с помощью добавления тех или иных иероглифов, а общее количество определялось суммой значений всех значков.
египетская нумерация
(c) Коробейникова Н.А.

I
- 1.
    
        
.
- 100
1 000. - 10 000.
египетская нумерация
- 100 000
- 1 000 000
10 000 000
10.
(c) Коробейникова Н.А.

    две тысячи, две сотни, пять десятков и три единицы.
египетская нумерация
Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему.
(c) Коробейникова Н.А.

сложение и вычитание
Знаки сложения и вычитания
Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф
Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».

Например: 2343 + 1671






+
Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем
или
(c) Коробейникова Н.А.

При умножении преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений.
1∙238=238, 2∙238=476, 4∙238=952, 8∙238=1904, значит 13∙238=3094 т.к. 13∙238=(8+4+1)∙238= 1904+952+238=3094.
Умножим «13» на «238»:
умножение в древнем Египте
(c) Коробейникова Н.А.

При делении также используется процедура удвоения и последовательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян. Здесь наблюдается самое большое разнообразие приёмов. Так, иногда в качестве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т.п. Иногда деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.
деление в древнем Египте
(c) Коробейникова Н.А.

древнеегипетские дроби
Для обозначения обыкновенных дробей египтяне использовали слово
"эр", одно из значений которого переводится как "часть". Поэтому запись любой дроби правильнее читать не как "1/n", а как "n - ная часть" Обычным видом египетских дробей являются дроби с единицей в числителе:
1/5 1/23 1/141
(c) Коробейникова Н.А.

древнеегипетские дроби
Дроби с числителем больше единицы египтяне раскладывали на привычные для них доли и записывали их столько раз, сколько единиц содержится в числителе (исключение составляют 2/3 и 3/4). Так, например, запись 4/7 выглядела следующим образом:

Для передачи некоторых дробей египтяне разработали особые обозначения:
1/2 1/4 2/3 3/4
(c) Коробейникова Н.А.

Древние не знали, конечно, современного алгебраического языка, они выражали уравнения на обычном разговорном языке подобно тому, как это делается в наших школьных учебниках арифметики. Величину, подлежащую определению, египтяне называли «аха», что переводят как «некоторое количество» или «куча». Вот пример формулировки задачи из египетского папируса: «количество и его четвертая часть дают вместе 15». Это задача «на части» по современной арифметической терминологии, а на алгебраическом языке она соответствует уравнению x + 1/4 x = 15.
уравнения в древнем Египте
(c) Коробейникова Н.А.

Современна запись уравнения
уравнения в древнем Египте
(c) Коробейникова Н.А.

математика древнего Египта
. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.
Математика развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории.
(c) Коробейникова Н.А.

Задача из папируса Ахмеса
Разделить поровну 7 хлебов между восемью людьми.
Мы с вами прямо сказали бы, что каждому должно достаться По 7/8 хлеба. У египтян числа 7/8 не было, и ответ задачи они записывали так: 1/2+1/4+1/8=7/8.
(c) Коробейникова Н.А.

“Куча” и ее седьмая часть в сумме дают 19. Найти “кучу”.
Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
Задача из папируса Ахмеса
(c) Коробейникова Н.А.

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:– Сколько ты приводишь из своего многочисленного стада? Пастух отвечает: - Я привожу2/3от 1/3стада, сочти! Узнайте сколько быков во всем стаде. (Ответ: 315)
Задача из папируса Ахмеса
(c) Коробейникова Н.А.

. О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса.  “В доме было 7 кошек. Каждая кошка съедает 7 мышей. Каждая мышь съедает 7 колосьев. Каждый колос дает 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?”.
Задача из папируса Ахмеса
(c) Коробейникова Н.А.

«Пусть тебе сказано : раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.»
Задача из папируса Ахмеса
(c) Коробейникова Н.А.

Главная мера длины у египтян локоть. Локоть делился на семь «ладоней», «ладонь» — на четы­ре «пальца». Как и многие другие народы, в качестве мерок длины египтяне использовали части чело­веческого тела. Но люди бывают разного роста, и локти у них не одинаковые. Египтяне это, конечно, понимали. Для того чтобы измере­ния получались точными и не происходило никакой путаницы, они придумали образцовые меры: локоть, ладонь и палец, общие для всего Египта.
меры длины
Теперь было уже неважно, какой длины руки у человека, который хотел что-нибудь измерить. Он мерил не своим, а «общим» локтем
(c) Коробейникова Н.А.

После каждого разлива Нила египтянам заново приходилось разбивать поля на участки, находить их границы. А для этого надо было уметь измерять площади различных фигур.  Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку, разделенную метками на локти, ладони и пальцы.  Если участок земли квадратный или прямоугольный, то это дело несложное.  Но участки могут иметь разную форму. Не всякий участок можно разделить на прямоугольники. А вот на треугольники можно разбить любой участок,— если только он ограничен прямыми линиями.
Измерение площадей.
(c) Коробейникова Н.А.

Разбивка участков на треугольники. Египтяне рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике провести прямую линию через два противо­положных угла, то получится два одинаковых треугольника с прямыми углами. Площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они получились. Значит, для того чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, ко­торые образуют прямой угол, перемножить длину их и от того, что получится, взять половину.
Измерение площадей.
(c) Коробейникова Н.А.

                                                                        
Измерение площадей.
к  одной  из  сторон треугольника так, чтобы она проходила через вершину противоположного этой стороне угла и образовала со стороною прямой угол.
Если получается такой треугольник, у которого нет прямого угла, надо   провести  линию под прямым углом
В геометрии такую  линию  называют  высотой,  а ту сторону, с которой она пересекается, - основанием   треугольника. Видно, что высота делит треугольник опять же на два, но уже прямоугольных   треугольника,   вычислить площадь  которых  просто. Площадь любого треугольника   равна  половине  произведения  основания на высоту.
(c) Коробейникова Н.А.

. Почему так получается они не объясняли. Как и многие народы, египтяне просто пользовались готовыми правилами, которые «ощупью» находили на опыте и запоминали.
Египетский треугольник.
Египтяне знали, что у треугольника со сторонами в 3, 4 и 5 локтей один угол прямой. Такой треугольник до сих пор называется «египетским»
(c) Коробейникова Н.А.

Египтяне наиболее точно определили число Пи. Важность этого открытия нам с вами еще предстоит понять. Число п- это величина постоянная и равна отношению длины окружности к ее диаметру. В папирусе Райнда приводится значение в десятичном приближении 3,16. С помощью этого числа можно вычислить площадь круга, а следовательно и объем пространственных тел, в основании которых лежит окружность (цилиндр). В папирусах также есть формулы для нахождения объема усеченной пирамиды, призмы, куба, параллелепипеда. Зная объем пирамиды, можно подсчитать, сколько камня необходимо подготовить для строительства, сколько рабов привлечь и определить сроки строительства.
математика древнего Египта
(c) Коробейникова Н.А.

Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты. Но главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила.
математика древнего Египта
(c) Коробейникова Н.А.

.