Презентация - Нестандартные способы решения задач на ОГЭ

Нестандартные способы решения задач на ОГЭ
Подготовила: Князева Ольга Юрьевна учитель математики МОУСОШ№5 с.Журавского 2017 г.

ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума…» Марков А. А.

УСТАНОВИТЕ СООТВЕТСТВИЕ

Найдите площадь фигуры
Открытый банк заданий ОГЭ

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
?
?
Ф

1 СПОСОБ
Ф

2 СПОСОБ
Ф

Георг Пик
Георг Александр Пик, австрийский математик  (10.08.1859  — 13.07.1942) 

Формула была открыта в 1899 г.
Г – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах): В – количество узлов внутри  треугольника; * Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

3 СПОСОБ
ФОРМУЛА ПИКА
В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника
Ф

Задача
Найти площадь фигуры:

Г= 11 (обозначены оранжевым) В = 5 (обозначены синим)
Отметим узлы:

С

Найдите площадь фигуры
Открытый банк заданий ОГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображёна геометрическая фигура. Найдите ее площадь.        
Открытый банк заданий ОГЭ

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Алгебра
Решение задач на смеси и сплавы

Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы»
-концентрация(доля чистого вещества в смеси) -количество чистого вещества в смеси -масса смеси. масса смеси х концентрация = количество чистого вещества.

Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим раствор соли, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм.
Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах -  (20 : 200) ·100 = 10%

Покажем этот раствор в виде прямоугольника
200 г 10 %
Масса раствора
Концентрация

Возьмем 15 кг цемента и 45 кг песка, высыпим содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим смесь цемента с песком, её масса равна 15 кг + 45 кг = 60 кг.
Концентрация цемента (процентное содержание цемента) – это отношение количества цемента к количеству смеси, записанное в процентах – (15 : 60) ·100 = 25%

Покажем эту смесь в виде прямоугольника
60 кг 25 %

Задача №1
Имеется 30 кг 26% го раствора соли. Требуется получить 40% раствор соли. Сколько кг 50% раствора соли нужно добавить?
30 кг 26 %
50 %
40 %
Имеется
Нужно добавить
Требуется получить
=
+
х кг
(30+х )кг

30 кг 26 %
50 %
40 %
=
+
х кг
(30+х )кг
30· 0,26
х ·0,5
(30+х)· 0,4
=
+
30· 26 + х· 50 = (30+х)· 40

Задача №2
Из чаши, содержащей 300 граммов 6% раствора уксусной кислоты, отлили некоторое количество этого раствора и добавили такое же количество воды. Определите, сколько граммов воды было добавлено, если известно, что в результате получили 2%-ый раствор уксусной кислоты

Нарисуйте и заполните рисунок




Было
Отлили
Добавили
Получили

Проверим!
300 г 6%
Было
Отлили
Добавили
Получили
х г 6%
х г 0%
300 г 2%
-
=
+
300 · 6 – 6х + х·0 = 300 · 2
Ответ: 200 г.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение:
Х 30%
У 60%
10 0%
Х+у+10 36%
Х+у+10 41%
10 50%
У 60%
Х 30%
Составим систему уравнений:
30х+60у+10*0=(х+у+10)*36, 30х+60у+10*50=(х+у+10)*41. Решая ее, получаем х=60, у=30. Ответ: 60.

Метод Пирсона при решении задач на смеси и сплавы

Теоретические основы решения задач «на смеси, сплавы» Примем некоторые допущения: Все получающиеся сплавы или смеси однородны. При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов. Определение. Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах. Терминология: процентное содержание вещества; концентрация вещества; массовая доля вещества. Всё это синонимы.

Готовим раствор определенной концентрации. Имеется 2 раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно. Обозначим массу 1-го раствора m 1, а 2-го m 2, тогда при смешивании масса смеси будет равна сумме этих масс. Массовая доля растворённого вещества в 1-м растворе – q 1, во 2-м – q 2, а в их смеси – q 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m 1 q 1 + m 2q2 =q3(m 1 + m 2), m 1(q 1 – q 3) = m 2(q 3 – q2) Отношение массы 1-го раствора к массе 2-го раствора это отношение разности массовых долей растворённого вещ-ва в смеси и в 2-м растворе к разности величин в 1-м растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют квадрат Пирсона. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
q1 q3 — q2 q3 q2 q1 — q3

Задача 3. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%? Решение:

Задача 4. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд? Решение: 97% 81% 45%

Задача 5 . Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси. Решение:

Задача 6. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка. Решение:

Задача 7. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве? Решение:

Задача 8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение:
Ответ: 5%.

Реши сам!
1) Смешали 3 литра 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 2) Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? 3) Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. 4) Смешав 6-процентный и 74-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получили 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 24-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 6-процентного раствора использовали для получения смеси?

Математика-наука интересная, сложная, поэтому нельзя упускать ни одной возможности сделать её более доступной!

Спасибо за внимание

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!