Презентация - Из истории развития начальной математики (8 класс)

«Из истории развития начальной математики»
Клещеногова В.А.- учитель математики МБОУ «Мордовско- Полянская ООШ»

В данной работе будут рассмотрены краткие исторические сведения об основных разделах школьной математики, охватывающей арифметику и начала алгебры и геометрии. Мы уже знаем громадную роль среднеазиатских математиков в истории средневековой математики. Рассмотрим вопрос, как русские математики довели до конца решение ряда вопросов, возникших очень давно и остававшихся нерешенными, несмотря на усилия самых крупных представителей западноевропейской науки.

Арифметика
Школьный курс арифметики состоит из трех основных частей: учения о нумерации, учения о действиях над целыми числами и свойствах их и учения о дробях. Рассмотрим часть арифметики: учение о нумерации.

Устная нумерация
Чисел бесконечно много. Мы не могли бы запомнить названия их, если каждое число обозначать особым словом. Установлено, что сочинения Шекспира содержат семнадцать тысяч различных слов. При чтении сочинений этого писателя даже для хорошо знающего английский язык требуется специальный словарь. Все народы очень давно решили задачу устной нумерации тем, что стали считать не отдельными единицами, а группами, которые обозначали теми же словами, как и отдельные предметы: один, два, три и так далее. За счетную группу можно взять любое число. Подавляющее большинство народов выбрало число 10, так как десять пальцев служили естественным подспорьем для счета.

Однако у разных народов и в разные времена имел место счет и другими группами. До сих пор в северной и средней Африке существуют народы, считающие группами в двенадцать, или дюжинами. Такой счет, по-видимому, был некогда более распространенным, о чем и свидетельствует тот факт, что еще в недалеком прошлом мы некоторые предметы, например, перья, считали дюжинами; двенадцать дюжин называли "гросс" (немецкое слово: "большая"), что означало: "большая дюжина" (подобно тому, как сотню называли "большим десятком", а миллион - "большой тысячей"). У древних вавилонян существовал счет группами в шестьдесят, или шестидесятиричная система счисления. Системы счисления с основанием, отличным от десяти, могут быть использованы для решения некоторых задач. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача Менделеева Д.И.
Наш знаменитый химик Д. И. Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей, если имеем набор гирь, по одной каждого вида, например, в а, b, с и d граммов, - то по сколько граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий а + b +с + d граммов? Задачу эту решали уже много столетий назад, причем решение занимало целые книжки, которые имеются и на русском языке. Однако она решается легко при помощи систем счисления с основанием 2 и 3.

Решение:
Пусть имеем груз в 93 грамма. Какие нужно взять гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить этот груз, кладя гири только на правую чашку весов? Так как всякое число можно выразить в двоичной системе, и в этом выражении в каждом разряде может быть не более одной единицы, то очевидно, что всякий груз, содержащий целое число граммов, можно уравновесить гирями "двоичной системы" (1, 2, 4, 8, 16...), имея только один набор таких гирь и кладя их только на одну чашку весов.

Выразим число 93 в двоичной системе: 9310 = 10111012 = 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2 + 1 = 1 · 64 + 0 · 32 + 1 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1. Отсюда видно, что при взвешивании груза в 93 грамма на правую чашку весов надо класть гири весом ь 1 + 4 + 8 + 16 + 64 = 93 грамма. Вообще, имея гири "двоичной системы", то есть 1, 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64 ... имеем возможность составить вес любого груза, не превышающего сумму весов гирь: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ... Для этого нужно число граммов (вес) выразить в двоичной системе, что всегда возможно; цифры полученного числа показывают, какие гири нужно класть на правую чашку весов. Если при взвешивании груза класть гири и на левую чашку весов, то является самым удобным набор гирь в троичной системе в 1, 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81 (и так далее) граммов.

Возникает вопрос, была ли когда-нибудь на практике осуществлена такая система гирь? По-видимому, это имело место только один раз и именно у нас, в России. Наш закон о мерах и весах 1797 года, который действовал до 1842 года, установил обязательный набор гирь в 1 и 2 пуда, 1, 3, 9, 27 фунтов и 1, 3, 9, 27 и 81 золотник. Была издана официальная "Таблица для развеса гирь", дающая все веса до 40 фунтов (1-го пуда) в гирях по троичной системе, иными словами, - готовые результаты перевода всех чисел до 40 в троичную систему счисления. Это мероприятие свидетельствует о том, что еще в ту отдаленную эпоху у нас жизнь строили на научной основе.

Показателем передового характера метрологической мысли в России служит факт, что в комиссии мер и весов в восемнадцатом столетии работали знаменитый наш академик Л. Эйлер и его ученики, из которых известны, как деятели математического образования академики С. Я. Румовский, 0. К. Котельников, М. Е. Головин (племянник М. В. Ломоносова) и другие. В торговой практике эта система гирь не нужна, так как употребляемые в магазинах гири дешевы и их всегда можно иметь несколько наборов. Но в лабораториях, в которых производятся взвешивания изготовляемыми из дорогих металлов (например, платина намного дороже золота) точными гирями, является весьма существенной возможность обходиться наименьшим числом гирь. Изготовление таких гирь - дело очень сложное, и такие гири стоят очень дорого не только из-за ценности их материала.

Письменная нумерация
Задачею письменной нумерации является изображение всех чисел при помощи возможно меньшего числа знаков (цифр). Разные народы, решали эту задачу различно. Идеальным решением вопроса явилось изобретение поместной (позиционной) нумерации, которой благодаря существованию нуля можно записать любое число при помощи десяти цифр. Современная форма цифр установилась с открытия книгопечатания, в середине пятнадцатого столетия. До этого цифры не имели стандартной формы. Существует много теорий для объяснения нынешней формы цифр. Некоторые теории связывали форму цифр с числом палочек, точек, углов в цифре, но все эти теории не имеют научного значения.

В связи с этим вопросом мы можем упомянуть имя великого нашего поэта А. С. Пушкина.
В полных собраниях его сочинений имеется заметка с чертежом: "Форма цыфров арабских составлена из следующей фигуры AD (1), ABDC (2), ABECD (3), ABD + AE -(4)". Догадка А. С. Пушкина представляет теорию, изображенную в таблице под цифрой VII.

Разные объяснения происхождения формы наших цифр. Под цифрой VII гипотеза, на которую указал А. С. Пушкин

A. С. Пушкин называет, как это часто делают и учебники, наши цифры арабскими. Вернее их называть индусскими, так как арабы были только передатчиками индусских цифр в Европу. Роль арабов как передатчиков в Европу индусских цифр была впервые указана русским востоковедом Кером в середине XVIII века. В России индусские цифры появляются в конце XVII века в математических рукописях параллельно со славянскими цифрами. Встречались индусские цифры на некоторых гравюрах XVII века.

Индусские цифры в русских рукописях XVII века сопровождаются славянскими цифрами
Индусские цифрами

Термины "цифра" и "нуль"
Слово "цифра" происходит от арабского слова "цифр", что означает "пустое" (место). Арабы перевели этим словом индусское слово "сунья" - "пустое" (место), которым индусы называли знак отсутствия разряда в числе. Вплоть до XVIII века наш нуль и назывался "цифрой". Когда в тринадцатом столетии индусские цифры появились в Европе и для большинства людей были непонятными, их считали какими-то тайными знаками, тайнописью. Тайнопись (письмо какими-нибудь условными знаками) называется шифром. Слово "шифр" происходит от того же корня: "цифр".

Постепенное превращение индусских цифр в современные

Такое словопроизводство объясняется тем, что сущностью индусской нумерации, как бы "тайнописи 44 для европейцев, был знак нуля; поэтому его первоначальное название "цифр" стало названием всей арифметической "тайнописи", которую представляли индусские цифры. Теперешнее название "нуль" происходит от латинского слова "nulla" (figura) - "никакая" (цифра). Индусы обозначали пустой разряд в числе сначала точкой, потом кружочком. Во многих языках нуль долго называли кружочком. Правдоподобным является образование формы нуля, как обозначения пустого места в записи числа, из первоначального знака  , который был заменен более удобным для письма кружком.

Литература:
И.Депман: Рассказы о математике. Государственное издательство детской литературы министерства просвещения РСФСР, Ленинград-1954г. Интернет- ресурсы.