Презентация - Представление чисел в памяти компьютера

презентация подготовлена учителем информатики МОУ «Губинская СОШ» Константиновой Еленой Ивановной
Представление чисел в памяти компьютера

Как представляются в компьютере целые числа?
Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака. Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112 , а в двубайтовом формате - от 00000000 000000002 до 11111111111111112.

Диапазоны значений целых чисел без знака
Формат числа в байтах Диапазон Диапазон
Формат числа в байтах Запись с порядком Обычная запись
1 0 ... 28-1 0 ... 255
2 0 ... 216-1 0 ... 65535

Число 3910 = 100111 2 в однобайтовом формате: Число 3910 = 100111 2 в двубайтовом формате: Число 65 53510 = 11111111 111111112 в двубайтовом формате:

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак "плюс" кодируется нулем, а "минус" - единицей. Диапазоны значений целых чисел со знаком
Формат числа в байтах Диапазон Диапазон
Формат числа в байтах Запись с порядком Обычная запись
1 -27 ... 27-1 -128 ... 127
2 -215 ... 215-1 -32768 ... 32767
4 -231 ... 231-1 -2147483648 ... 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины - семь разрядов. В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение. 1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа - двоичный код его абсолютной величины

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы –нулями. 3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Формы записи целых положительных чисел

Десятичное представление Двоичное представление Представление в прямом коде Представление в обратном коде Представление дополнительном коде
23 10111 00010111 00010111 00010111
127 1111111 01111111 01111111 01111111
1 1 00000001 00000001 00000001
Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код Число 2310=101112 прямой, обратный и дополнительный код
0 0 0 1 0 1 1 1
«+»
Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код Число 12710=11111112 прямой, обратный и дополнительный код
0 1 1 1 1 1 1 1
«+»
имеют одинаковое представление
Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код Число 110=12 прямой, обратный и дополнительный код
0 0 0 0 0 0 0 1
«+»

Формы записи целых отрицательных чисел
Десятичное представление Двоичное представление Представление в прямом коде Представление в обратном коде Представление дополнительном коде
-1 -1 10000001 11111110 11111111
-17 -10001 10010001 11101110 11101111
-127 -1111111 11111111 10000000 10000001
Прямой код числа -17: Прямой код числа -17: Прямой код числа -17: Прямой код числа -17: Прямой код числа -17: Прямой код числа -17: Прямой код числа -17: Прямой код числа -17:
1 0 0 1 0 0 0 1
«-»
Прямой код числа -127: Прямой код числа -127: Прямой код числа -127: Прямой код числа -127: Прямой код числа -127: Прямой код числа -127: Прямой код числа -127: Прямой код числа -127:
1 1 1 1 1 1 1 1
«-»
Обратный код числа -17: Обратный код числа -17: Обратный код числа -17: Обратный код числа -17: Обратный код числа -17: Обратный код числа -17: Обратный код числа -17: Обратный код числа -17:
1 1 1 0 1 1 1 0
«-»
Обратный код числа -127: Обратный код числа -127: Обратный код числа -127: Обратный код числа -127: Обратный код числа -127: Обратный код числа -127: Обратный код числа -127: Обратный код числа -127:
1 0 0 0 0 0 0 0
«-»
Дополнительный код числа -17: Дополнительный код числа -17: Дополнительный код числа -17: Дополнительный код числа -17: Дополнительный код числа -17: Дополнительный код числа -17: Дополнительный код числа -17: Дополнительный код числа -17:
1 1 1 0 1 1 1 1
«-»
Дополнительный код числа -127: Дополнительный код числа -127: Дополнительный код числа -127: Дополнительный код числа -127: Дополнительный код числа -127: Дополнительный код числа -127: Дополнительный код числа -127: Дополнительный код числа -127:
1 0 0 0 0 0 0 1
«-»

Операции над числами с фиксированной точкой.

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например: Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например: Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например: Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы!!!

4. А и В отрицательные. Например: Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –1110 вместо обратного кода числа –1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –1010.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n–1, где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n–1 = 27 = 128). Например: Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых (знак суммы – отрицателен, знак слагаемых – положительный), что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n–1. Например: 632 =01111112 Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода, т.к. дополнительный код используется только для отрицательных чисел.      

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например: Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например: Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например: Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает. Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Задача. Выполнить действия над машинными кодами чисел: с фиксированной точкой. Формат 16 двоичных разрядов. Дано: А=190; В=250 Найти: С1=А + В; С2=А – В. Решение: А(10) = 190; А(16)=BE=10111110(2) В(10) = 250; В(16)=FA=11111010(2) С1 = А+В С2 = А – В А= 0 000000010111110 А = 0 0000000010111110 (прямой код) +В= 0 000000011111010 - В = 1 111111100000110 (дополнительный код) С1= 0 000000110111000 С2 = 1 111111111000100 Проверка: Проверка: С1=110111000(2) С2 = - 111100 = - BC= - 3*16 +12*1 = = - 60 (10) С1(16) = 1В8 = 1*16*16+11*16+8*1 = 440(10) Ответ: С1 = 0 000000110111000 С2 = 1 000000000111100

Задача. Выполнить действия над машинными кодами чисел: с фиксированной точкой. Формат 16 двоичных разрядов. Дано: А= - 387; В= - 128 Найти: С1=А + В; Решение: X = A+B X = (-A) + ( - B) А(10) = - 387; А(16)=- 183(16)= - 110000011(2) В(10) = - 128; В(16)=- 80(16)= - 10000000(2) A(2) = 1 000000110000011 –прямой код А(2) = 1 111111001111100 –обратный код А(2) = 1 111111001111101 – дополн. код

В(2) = 1 000000010000000 – прямой код В(2) = 1 111111101111111 – обратный код В(2) = 1 111111110000000 – дополн.код (-А) = 1 111111001111101 + (-В) = 1 111111110000000 Х = 1 111110111111101 –доп. код Х = 1 000001000000010 – обр.код Х = 1 000001000000011 – пр.код Х = - 203(16) = - (2*16*16+0*16+3*1) = = - (256*2+3) = - (512+3)+ - 515

Представление чисел с плавающей точкой.
Этот способ представления опирается на нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел. Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа A - это запись вида: А= m* qn, где m – мантисса числа (правильная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю), q – основание системы, n – порядок числа.

Примеры: 1. Мантисса числа 64.5 – это число 0.645, а порядок – число 2, так как 64.5 = 0.645*10 степень (2). 2. Мантисса числа 0.0000012 – это число 0.12, а порядок – число -5, потому что 0.0000012= =0.12*10 степень(-5). При представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды - для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы.

Операции над числами с плавающей точкой.

Дано:А = 12,75; В = 250 Найти: С3 = А + В, С4 = А – В Формат – 32 двоичных разряда со смещенным порядком. А(10) = 12,75 = А(16) = С.С; В(10) = 250 = В(16) = FA Нормализация мантисс mA = 0.CC; pxA = 40 + 1 = 41 mB = 0.FA; pxB = 40 + 2 = 42 Выравнивание характеристик: ∆p = pxA – pxB = -1 m*A = mA * 16 -1 = 0.0CC; pxA = 41+ 1 = 42 C3 = A + B; mA = 00 0CC000 pxA = 42 mB = 00 FA0000 pxB = 42 mC3 = 01 06C000 pxC = 42

Нормализация мантиссы результата mxC3 = 00 106C00; pxC3 = 42 + 1 = 43 Проверка С3(16) = 106,C = (C3) = 262,75 C3 = 0 1000011000100000110110000000000 C4 = A – B mA = 00 0CC000 pxA = 42 mB = 10 06000 pxB = 42 mC3 = 10 12C000 pxC = 42 Нормализация мантиссы результата: mС4 = 10 ED4000 pxC4 = 42 Проверка: С4 = - ED.4 = (C4) = - (14 * 16 + 13 * 1 + 4/16) = - 237, 25 C4=11000010111011010100000000000000

Задания на дом: 1. Угринович Н.Д. п. 2.9., стр.103-105. 2. Заполнить карточки.

Литература:
Информатика. Путеводитель абитурента и старшеклассника. Авт.-сост. Н.А. Подольская.- М.: Научно-технический центр «Университетский», 1998.-128 стр. Информатика 10 класс. Поурочные планы по учебнику Н.Д. Угриновича «Информатика и информационные технологии.10-11 классы. Составитель М.Г.Гилярова. Издательско-торговый дом «Корифей».Волгоград.2007.128 стр. http://pedsovet.su/load/14-1-0-3796 http://fcior.edu.ru/