Презентация - Для 8 класса "Признаки подобия треугольников" (геометрия)

«Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников»
Пономарева Юлия Васильевна, учитель математики МБОУ Каменно-Балковская СОШ

Содержание:
Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Первый признак подобия треугольников. Второй признак подобия треугольников. Третий признак подобия треугольников.

Пропорциональные отрезки.
Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е. АВ. CD Говорят, что отрезки АВ и CD пропор-циональны отрезкам А1В1 и C1D1, если АВ = CD. А1В1 C1D1 Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1, длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле, АВ = CD = 2. А1В1 C1D1 3

Определение подобных треугольников.
Пусть у двух треугольников АВС и А1В1С1 соответствующие углы равны. В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
АВ ВС СА А1В1 В1С1 С1А1
k
Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников.
Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Дано:  АВС ~  А1В1С1. Коэффициент подобия равен k.
Доказать: S = S1
k²
Доказательство: Пусть площадь  АВС равна S, а площадь  А1В1С1 равна S1. Так как
то
(по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Так как
поэтому
Теорема доказана.

Первый признак подобия треугольников.
Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого , то такие треугольники подобны.
Дано:  АВС,  А1В1С1.
Доказать:  АВС ~  А1В1С1.
Доказательство: по теореме о сумме углов треугольника
и, значит,
Таким образом, углы  АВС
соответственно равны углам  А1В1С1. Докажем, что стороны АВС пропорциональны сходственным сторонам А1В1С1.
Т.к.
то
Из этих равенств следует, что
Аналогично, используя равенства
получаем
Итак, стороны  АВС пропорциональны сходственным сторонам  А1В1С1. Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников.
Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Дано:  АВС,  А1В1С1,, у которых
Доказать:  АВС ~  А1В1С1.
Доказательство: Достаточно доказать, что
Рассмотрим  АВС2, у которого
Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
С другой стороны, по условию
Из этих двух равенств получаем АС = АС2.
 АВС и  АВС2 равны по двум сторонам и углу между ними (АВ – общая сторона, АС=АС2 и )
Отсюда следует, что
а так, как
Теорема доказана.

Третий признак подобия треугольников.
Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано:  АВС,  А1В1С1,, у которых
Доказать:  АВС ~  А1В1С1.
Доказательство: Достаточно доказать, что
Рассмотрим  АВС2, у которого
Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Сравнивая эти равенства с равенствами, которые записаны в дано, получаем:
 АВС=  АВС2 по трем сторонам. Отсюда следует, что
Теорема доказана.
а так как