Презентация - Функции их свойства и графики

Функции их свойства и графики Что такое «функция»? Способы задания функции. Схема исследования функции.

Определение функции. Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х), в которой каждому значению независимой переменной (Х) соответствует единственное значение зависимой переменной (У). Независимую переменную называют - аргумент . Значения зависимой переменной называют значениями функции . Запись У f (X) читается: У – функция от Х.

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 У f (X)

Способы задания функции. Графически. С помощью формулы. Таблицей. Словесный. Рекуррентный.

t (в сек) 4 2 2 0 4 0 1 4 6 6 0 8 8 0 10 100 12 S (в км) 0

У х 2 -3х 5 У -2х 1 У X -5

День недели Дежурные Понедельник Иванова А Вторник Петров Д Среда Сидорова К Четверг Козлов М Пятница Никитин Е Суббота Макарова Т

Каждому натуральному числу поставим в соответствие его квадрат.

а 1 3, а n 1 2 а n -1.

1. Область определения Все значения независимой переменной образуют область определения функции -D (f). Значения независимой переменной находятся на оси абсцисс (Ох)

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 D (f).

Если функция задана формулой и не указана ее область определения, то область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Укажите область определения функций: а) , б) , в)

2. Область значений функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции – E (f). Значения зависимой переменной находятся на оси ординат (Оу) Единственная область, которая записывается по оси Оу

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 E (f).

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 D (f). E (f).

3. Промежутки знакопостоянства у 5х 2-3 х-2 график парабола, ветви вверх Решите неравенство: 5х 2-3 х-2 0 Х1 -0,4; х2 1 (- ;-0,4) U(1 ; ) решение выше оси Ох 3. 1 . Значения функции положительны. У 0 участки графика лежа т выше оси Ох

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 У 0

3. Промежутки знакопостоянства у 5х 2-3 х-2 график парабола, ветви вверх Решите неравенство: 5х 2-3 х-2 0 Х1 -0,4; х2 1 (-0,4;1) решение ниже оси Ох 3.2. Значения функции отрицательны. У участки графика лежа т ниже оси Ох

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 У

Промежутки знакопостоянства 3.3. Значения функции равны нулю. Нули функции - т очки пересечения с осями координат Пересечение с осью Ох: У 0 (х;0) Пересечение с осью Оу: Х 0 (0;у) Если функция задана формулой, то промежутки знакопостоянства можно найти решив неравенство или уравнение (для нулей функции)

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 У 0

4. Монотонность функции промежутки возрастания и убывания функции 4.1. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. График «идет вверх/вниз» при движении слева направо по оси Ох

-10 х у 0 Возрастающая функция. х 1 х 2 у 1 у 2 Х 2 Х 1 , то У 2 У 1.

4. Монотонность функции промежутки возрастания и убывания функции 4.2. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. График «идет вверх/вниз» при движении слева направо по оси Ох

-10 х у 0 Убывающая функция. х 1 х 2 у 1 у 2 Х 2 Х 1 , то У 2 У 1.

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12

5. Четные и нечетные функции. 5.1. Функция у f (x) называется четной, если для всех х из области определения функции для противоположных аргументов значения функции одинаковые. Выполняется равенство f (-x) f (x). График четной функции симметричен относительно оси Оу

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 -х х f (-x) f (x).

5. Четные и нечетные функции. 5.2. Функция у f (x) называется нечетной, если для всех х из области определения функции для противоположных аргументов значения функций противоположные. Выполняется равенство f (-x) - f (x). для того чтобы определить четность или нечетность функции по формуле, вместо х подставить –х и выяснить знак выражения после подстановки № 74 (а-г), 75(а-г) График нечетной функции симметричен относительно начала координат

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12 -х х f (-x) - f (x).

6. Ограниченность функции. 6.1. Функция y f (x) называется ограниченной снизу, если для любого х из области определения функции выполняется условие f (x) a , где а – некоторое число. График лежит выше прямой у а ограниченность функции можно посмотреть по области значений функции

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12

6. Ограниченность функции. 6 .2 Функция y f (x) называется ограниченной сверху, если для любого х из области определения функции выполняется условие f (x) b , где b – некоторое число. График лежит ниже прямой у b

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12

6. Ограниченность функции. 6.3. Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12

0 х у 4 2 2 -2 -2 -4 -4 4 6 -6 -6 6 8 -8 -8 8 10 -10 -10 10 12 -12 12

7. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке это самая высокая и самая низкая точки на графике (ответ записывается в виде координаты у)

8. Точки максимума, минимума и перегиб. (х;у) Мах – самая высокая точка Min – самая низкая точка Перегиб – это волна или резкая смена направления

9. Непрерывность функции. Функция называется непрерывной, если у нее нет точек разрыва

Прочитайте график функции: 1 вариант 2 вариант СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Прочитайте график функции: 1. Область определения функции D(y) (- ; ) 2. Область значений функции E(y) (-4 ; ) E(y) (- ; ) 3. Чётность/нечетность функции Чётная Нечётная 4. Нули функции у 0 при х 0; 1,4 у 0 при х 0; 1,2 5. Промежутки возрастания/ убывания функции y при х –1;0 , 1; y при (– ;–1 , 1; y при x (– ;-1 , 0;1 y при х x –1; 1 6. Наибольшее/наименьшее значение функции унаим –4; унаиб не сущ. Унаим , унаиб не сущ. 7. Ограниченность функции Ограничена снизу Не ограничена 8. Непрерывность функции непрерывна 1 вариант 2 вариант СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ