Презентация - Квадратичная функция, ее график и свойства

Квадратичная функция, ее график и свойства
МКОУ СОШ №27 пос. Падинского Османов Мухтар Гаджирамазанович

График функции y = a x ,
y
при a=1
при a= -1
x
1 2 3 4 5 6
-6 -5-4-3-2-1
-4
-9

Преобразование графика квадратичной функции

Построение графиков функций у=х2 и у=х2+m.

у=х2+m, m>0
У
m
Х

у=х2+m, m<0
У
Х
m

Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

Построение графиков функций у=х2 и у=(х+l)2.

у=(х+l)2, l>0
У
Х
l

у=(х+l)2, l<0
У
Х
l

Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

Найти координаты вершины параболы:
(4;5)
У=2(х-4)² +5
У=-6(х-1)²
(1;0)
У = -х²+12
(0;12)
У= х²+4
(0;4)
(-7;-9)
У= (х+7)² - 9
(0;0)
У=6 х²

График квадратичной функции, его свойства

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c, где х - независимая переменная, a, b и с -некоторые числа (причём а≠0).
Например: у = 5х²+6х+3, у = -7х²+8х-2, у = 0,8х²+5, у = ¾х²-8х, у = -12х² квадратичные функции

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх(если а>0) или вниз (если а<0).
у=2х²+4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=2, а>0). у= -7х²-х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а<0).
у 0 х
у 0 х

Алгоритм решения
Определить координату вершины параболы по формулам: Отметить эту точку на координатной плоскости. Через вершину параболы начертить ось симметрии параболы Найти нули функции и 0тметить их на числовой прямой Найти координаты двух дополнительных точек и симметричных им Провести кривую параболы.

Постройте график функции у=2х²+4х-6, опишите его свойства

Проверь себя:
1. D(y)= R
У
2. у=0, если х=1; -3
3. у>0, если х
у<0, если х
4. у↓, если х
у↑, если х
-1
Х
5. унаим= -8, если х= -1
-2
унаиб – не существует.
6. Е(y):

Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции

Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая- нуль, называется неравенством второй степени.
Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов: 1) ах2+bx+c>0; 2) ах2+bx+c<0; 3) ах2+bx+c≥0; 4) ах2+bx+c≤0.

Какие из неравенств вы бы назвали неравенствами второй степени:
1) 6х 2-13х>0; 2) x 2-3x-14>0; 3) (5+x)(x-4)>7; 4) ; 5) 6) 8x2 >0; 7) (x-5)2 -25>0;

Какие из чисел являются решениями неравенства?
?
?
?
?
?
?
?
?
-3
-1
-4
-2
0,5

Назовите число корней уравнения ax2+bx+c=0 и знак коэффициента а, если график соответствующей квадратичной функции расположен следующим образом:
б
в
а
г
д
е

Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом: Ι вариант. ΙІ вариант.
в
а
б
б
в
а

Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом: Ι вариант f(x)>0 при xЄR f(x)<0 _________ ΙІ вариант f(x)>0 при xЄ(-∞;1)U(2,5;+∞); f(x)<0 при xЄ(1;2,5)
а
а

Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом: Ι вариант f(x)>0 при xЄ(-∞;-3)U(-3;+∞) f(x)<0__________ ΙІ вариант f(x)>0 при xЄ(-∞;0,5)U(0,5;+∞) f(x)<0 __________
б
б

Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом Ι вариант f(x)>0 при xЄ(-∞;-4)U(3;+∞); f(x)<0 при xЄ(-4;3) f(x)>0__________; f(x)<0 при xЄR ΙІ вариант
в
в

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной
Пример решения неравенства
1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0) 2. Рассмотрите функцию y=ax2+bx+c 3. Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0; х1и х2 найдите, решая уравнение ax2+bx+c=0) 5. Схематически постройте график функции y=ax2+bx+c 6. Выделите часть параболы, для которой y>0 (y<0)
5х2+9х-2<0 2.Рассмотрим функцию y=5х2+9х-2 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х2+9х-2=0 х1=-2; х2= 5.
-2

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной
Пример решения неравенства
1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0) 2. Рассмотрите функцию y=ax2+bx+c 3. Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0; х1и х2 найдите, решая уравнение ax2+bx+c=0) 5. Схематически постройте график функции y=ax2+bx+c 6. Выделите часть параболы, для которой y>0 (y<0) 7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y>0 (y<0)
5х2+9х-2<0 2.Рассмотрим функцию y=5х2+9х-2 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х2+9х-2=0 х1=-2; х2= 5.
-2

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной
Пример решения неравенства
1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0) 2. Рассмотрите функцию y=ax2+bx+c 3. Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0; х1и х2 найдите, решая уравнение ax2+bx+c=0) 5. Схематически постройте график функции y=ax2+bx+c 6. Выделите часть параболы, для которой y>0 (y<0) 7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y>0 (y<0) 8. Запишите ответ в виде промежутков
5х2+9х-2<0 2.Рассмотрим функцию y=5х2+9х-2 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х2+9х-2=0 х1=-2; х2= 5. 8. хЄ(-2; )
-2

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2 - решение неравенства 2:
1.
2.
Таблица 2
Таблица 1
.
.
.
.
.
.
.
.
а
в
а
в
с
d
с
d

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2- решение неравенства 2:
1.
2.
Таблица 2
Таблица 1
.
.
.
.
.
.
.
.
а
в
а
в
с
d
с
d

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2- решение неравенства 2:
1.
2.
Таблица 1
Таблица 2
.
.
.
.
.
.
.
.
а
в
а
в
с
d
с
d

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2- решение неравенства 2:
1.
2.
Таблица 1
Таблица 2
.
.
.
.
.
.
.
.
а
в
а
в
с
d
с
d

Итог урока
При решении данных заданий нам удалось систематизировать знания о применении квадратичной функции. Математика- это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее ученику богатую пищу для ума. Свойства квадратичной функции лежат в основе решения квадратных неравенств. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростьюv0, находится в момент времени t на расстоянии s(t)=-q\2t2+v0t от земной поверхности (здесь q- ускорение силы тяжести); количество тепла Q, выделяемое при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока I формулой Q=RI2. Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать дальность полета тела, брошенного вертикально вверх или под некоторым углом. Этим пользуются в оборонной промышленности.

Незаконченное предложение
Задание: закончить одно из трех предложений, которое больше других соответствует вашему состоянию. “Выполнять задания и решать задачи мне трудно, так как …” “Выполнять задания и решать задачи мне легко, так как …” “Выполнять задания и решать задачи для меня занятие приятное и интересное, потому что…”

Домашнее задание
Учебник №142; №190