Презентация - Векторы в пространстве

Нажмите для просмотра
Векторы в пространстве
Распечатать
  • Последний IP: 213.180.203.85
  • Уникальность: 97%
  • Слайдов: 79
  • Просмотров: 4045
  • Скачиваний: 2787
  • Размер: 0.79 MB
  • Онлайн: Да
  • Формат: ppt и pptx
В закладки
Оцени!

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Векторы в пространстве, слайд 1
Векторы в пространстве
вход

Слайд 2

Векторы в пространстве, слайд 2
Содержание
I. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Компланарные векторы IV. Действия с векторами V. Разложение вектора VI. Базисные задачи Проверь себя Об авторе Помощь в управлении презентацией
Выход

Слайд 3

Векторы в пространстве, слайд 3
Понятие вектора в пространстве
Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB.
В
M
А

Слайд 4

Векторы в пространстве, слайд 4
Коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы

Слайд 5

Векторы в пространстве, слайд 5
Сонаправленные векторы
Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.
Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы

Слайд 6

Векторы в пространстве, слайд 6
Равные векторы
Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны.
От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Слайд 7

Векторы в пространстве, слайд 7
Противоположно направленные векторы
Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.
Противоположные векторы

Слайд 8

Векторы в пространстве, слайд 8
Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.

Слайд 9

Векторы в пространстве, слайд 9
Признак коллинеарности
Доказательство

Слайд 10

Векторы в пространстве, слайд 10
Доказательство признака коллинеарности

Слайд 11

Векторы в пространстве, слайд 11
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример:
B1
C1
A1
D1
B
C
А
D

Слайд 12

Векторы в пространстве, слайд 12
О компланарных векторах
Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
α
если

Слайд 13

Векторы в пространстве, слайд 13
Признак компланарности
Доказательство Задачи

Слайд 14

Векторы в пространстве, слайд 14
Задачи на компланарность
Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение

Слайд 15

Векторы в пространстве, слайд 15
Решение

Слайд 16

Векторы в пространстве, слайд 16
Решение

Слайд 17

Векторы в пространстве, слайд 17
Решение

Слайд 18

Векторы в пространстве, слайд 18
Доказательство признака компланарности
B1
С
B
A
A1
O

Слайд 19

Векторы в пространстве, слайд 19
Свойство компланарных векторов

Слайд 20

Векторы в пространстве, слайд 20
Действия с векторами
Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение

Слайд 21

Векторы в пространстве, слайд 21
Сложение векторов
Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения

Слайд 22

Векторы в пространстве, слайд 22
Правило треугольника
B
А
C

Слайд 23

Векторы в пространстве, слайд 23
Правило треугольника
B
А
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Слайд 24

Векторы в пространстве, слайд 24
Правило параллелограмма
B
А
C

Слайд 25

Векторы в пространстве, слайд 25
Свойства сложения

Слайд 26

Векторы в пространстве, слайд 26
Правило многоугольника
Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).
B
C
A
Пример
E
D

Слайд 27

Векторы в пространстве, слайд 27
Пример
B1
C1
A1
D1
B
C
A
D

Слайд 28

Векторы в пространстве, слайд 28
Правило параллелепипеда
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.
B1
C1
A1
D1
B
C
А
D

Слайд 29

Векторы в пространстве, слайд 29
Свойства
B1
C1
A1
D1
B
C
А
D

Слайд 30

Векторы в пространстве, слайд 30
Вычитание векторов
Вычитание Сложение с противоположным

Слайд 31

Векторы в пространстве, слайд 31
Вычитание
Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Слайд 32

Векторы в пространстве, слайд 32
Вычитание
B
A
Правило трех точек
C

Слайд 33

Векторы в пространстве, слайд 33
Правило трех точек
Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.
B
А
K

Слайд 34

Векторы в пространстве, слайд 34
Сложение с противоположным
Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .
B
А
O

Слайд 35

Векторы в пространстве, слайд 35
Умножение вектора на число

Слайд 36

Векторы в пространстве, слайд 36
Свойства
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Слайд 37

Векторы в пространстве, слайд 37
Свойства

Слайд 38

Векторы в пространстве, слайд 38
Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения

Слайд 39

Векторы в пространстве, слайд 39
Справедливые утверждения
скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины

Слайд 40

Векторы в пространстве, слайд 40
Вычисление скалярного произведения в координатах
Доказательство

Слайд 41

Векторы в пространстве, слайд 41
Доказательство формулы скалярного произведения
B
α
O
A
O
B
A
B
O
A

Слайд 42

Векторы в пространстве, слайд 42
Доказательство формулы скалярного произведения

Слайд 43

Векторы в пространстве, слайд 43
Свойства скалярного произведения
10. 20. 30. 40.
(переместительный закон)
(распределительный закон)
(сочетательный закон)

Слайд 44

Векторы в пространстве, слайд 44
Разложение вектора
По двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам

Слайд 45

Векторы в пространстве, слайд 45
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

Слайд 46

Векторы в пространстве, слайд 46
Доказательство теоремы
Пусть коллинеарен . Тогда , где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и .
P
B
O
A
A1

Слайд 47

Векторы в пространстве, слайд 47
Доказательство теоремы
не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим О – произвольную точку.

Слайд 48

Векторы в пространстве, слайд 48
Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда:
-

Слайд 49

Векторы в пространстве, слайд 49
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

Слайд 50

Векторы в пространстве, слайд 50
Доказательство теоремы
P
С
B
P1
P2
O
A

Слайд 51

Векторы в пространстве, слайд 51
Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда:
-

Слайд 52

Векторы в пространстве, слайд 52
Базисные задачи
Вектор, проведенный в середину отрезка
Вектор, проведенный в точку отрезка
Вектор, соединяющий середины двух отрезков
Вектор, проведенный в центроид треугольника
Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда

Слайд 53

Векторы в пространстве, слайд 53
Вектор, проведенный в середину отрезка,
равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.
Доказательство

Слайд 54

Векторы в пространстве, слайд 54
Доказательство
С
A
B
O

Слайд 55

Векторы в пространстве, слайд 55
Вектор, проведенный в точку отрезка
Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п.
С
A
m
n
B
O
Доказательство

Слайд 56

Векторы в пространстве, слайд 56
Доказательство
С
A
m
n
B
O

Слайд 57

Векторы в пространстве, слайд 57
Вектор, соединяющий середины двух отрезков,
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
N
С
N
D
С
D
B
B
M
M
A
A
Доказательство

Слайд 58

Векторы в пространстве, слайд 58
Доказательство
N
С
D
B
M
A

Слайд 59

Векторы в пространстве, слайд 59
Вектор, проведенный в центроид треугольника,
равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.
Центроид – точка пересечения медиан треугольника.
O
С
M
A
B
Доказательство

Слайд 60

Векторы в пространстве, слайд 60
Доказательство
O
С
M
K
A
B

Слайд 61

Векторы в пространстве, слайд 61
Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,
равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
Доказательство

Слайд 62

Векторы в пространстве, слайд 62
Доказательство
O
B
C
M
A
D

Слайд 63

Векторы в пространстве, слайд 63
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.
B1
C1
A1
D1
B
C
A
D
Доказательство

Слайд 64

Векторы в пространстве, слайд 64
Доказательство
B1
C1
A1
D1
B
C
A
D

Слайд 65

Векторы в пространстве, слайд 65
Помощь в управлении презентацией
управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход переход к следующему слайду возврат к содержанию возврат к подтеме возврат с гиперссылок

Слайд 66

Векторы в пространстве, слайд 66
Проверь себя
Устные вопросы Задача 1. Задача на доказательство Задача 2. Разложение векторов Задача 3. Сложение и вычитание векторов Задача 4. Скалярное произведение

Слайд 67

Векторы в пространстве, слайд 67
Устные вопросы
Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны? б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены? в) любые два равных вектора коллинеарны? г) любые два сонаправленных вектора равны? д) е) существуют векторы , и такие, что и не коллинеарны, и не коллинеарны, а и коллинеарны?
Ответы

Слайд 68

Векторы в пространстве, слайд 68
Ответы
а) ДА б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными) в) ДА г) НЕТ (могут иметь разную длину) д) ДА е) ДА

Слайд 69

Векторы в пространстве, слайд 69
Задача 1. Задача на доказательство
B1
C1
A1
D1
M2
M1
B
C
А
D
Решение

Слайд 70

Векторы в пространстве, слайд 70
Решение
B1
C1
A1
D1
M2
M1
B
C
А
D

Слайд 71

Векторы в пространстве, слайд 71
Задача 2. Разложение векторов
Разложите вектор по , и : а) б) в) г) Решение
D
B
A
N
C

Слайд 72

Векторы в пространстве, слайд 72
Решение
а) б) в) г)

Слайд 73

Векторы в пространстве, слайд 73
Задача 3. Сложение и вычитание
Упростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение

Слайд 74

Векторы в пространстве, слайд 74
Решение
а) б) в) г) д) е)

Слайд 75

Векторы в пространстве, слайд 75
Задача 4. Скалярное произведение
Вычислить скалярное произведение векторов:
C1
B1
A1
D1
B
C
A
D
Решение

Слайд 76

Векторы в пространстве, слайд 76
Задача 4. Скалярное произведение
Вычислить скалярное произведение векторов:
B1
C1
O1
A1
D1
B
C
A
D
Решение

Слайд 77

Векторы в пространстве, слайд 77
Решение

Слайд 78

Векторы в пространстве, слайд 78
Решение

Слайд 79

Векторы в пространстве, слайд 79
Решение
B1
C1
O1
A1
D1
B
C
A
D
^ Наверх
X

Благодарим за оценку!

Мы будем признательны, если Вы так же поделитесь этой презентацией со своими друзьями и подписчиками.