Презентация - Стереометрия. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии

Стереометрия. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии.

- Вспомните, что такое геометрия?
Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.
Геометрия – от двух греч. слов: geo(η γη) – земля, metreo (μέτρο) – измеряю.
- Что такое планиметрия?
Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.
Планиметрия – от двух слов: лат. planum - плоскость и греч. metreo (μέτρο) - измеряю.
- Какие основные понятия в планиметрии вы знаете?
Основные понятия планиметрии:
А
а
точка
прямая

Геометрия
Планиметрия
Стереометрия
Греч. stereos (στερεο) - телесный, твердый, объёмный, пространственный, metreo (μέτρο) – измеряю.

Стереометрия
- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Возникновение и развитие стереометрии.
Развитие стереометрии началось позднее планиметрии, но также в глубокой древности. Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека: построение зданий и средств передвижения, рытьё каналов; изучение небесной сферы, сбор урожая…

Основные фигуры в пространстве.
Точка Прямая Плоскость представляем как геометрическую фигуру, простирающуюся неограниченно во все стороны.

Обозначение точек.
Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, …
А
С
В

Примерами моделей точек являются: атомы и молекулы планеты в масштабах вселенной капли дождя

Обозначения принадлежности. Точка и плоскость
А
В


Обозначение прямых.
Прямые обозначаются: строчными латинскими буквами a, b, c, d, e, k,… двумя заглавными латинскими буквами AB, CD …
а
A
B

Примеры моделей прямых.
инверсионные следы самолетов рельсы метеорные потоки

Обозначение плоскостей.
Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ,…или прописными латинскими: АВС или (АВС)…
α
(АВС)

Примеры моделей плоскостей.
поверхность воды поверхность стола поверхность зеркала

Обозначения. Прямая и плоскость.

Обозначения. Плоскости.

Ответьте на вопросы по рисунку: 1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β. 2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β. 3. Назовите плоскость, которая пересекается с плоскостью β.

Что еще изучает стереометрия?
Наряду с точкой, прямой и плоскостью стереометрия изучает геометрические тела и их свойства.

Что общего в этих геометрических телах?
Как можно их назвать одним словом?
Это многогранники.

Что общего в этих геометрических телах?
Как можно их назвать общим термином? (Подумайте, как можно получить эти тела из плоских геометрических фигур.)
Это тела вращения.

Окружающие нас предметы и геометрические тела.
Кристалл – многогранник.жестяная банка – цилиндр
мяч – шар.стаканчик мороженого – конус
Окружающие нас предметы дают представления о геометрических телах. А изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем сведения о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности.

Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках:
Назовите предметы из окружающей вас классной комнаты напоминающие вам геометрические тела.

Геометрические понятия в многогранниках.
Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина
вершина
грань
ребро

Изображения геометрических тел на чертежах.
Изображением пространственной фигуры служит её проекция на ту или иную плоскость. Невидимые части фигуры изображаются штриховыми линиями.

Чертеж треугольной пирамиды (начинать надо с основания).
L
В
С
N
А
M
K
D

Чертеж наклонного параллелепипеда (начинать также с основания).
B1
C1
D1
А1
B
C
А
D

Работа в тетради.
В1
С1
1. Начертите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
А1
D1
2. Обозначьте вершины куба заглавными латинскими буквами АВСDА1В1С1D1.
3. Выделите цветной ручкой (карандашом, фломастером): вершины А, С, В1, D1 отрезки АВ, СD, В1С, D1С диагонали боковой грани АА1В1В (какой фигурой является эта боковая грань?)
В
С
D
А

Практическое (прикладное) значение стереометрии.
Следует помнить, что геометрические тела являются вымышленными объектами. Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т.д.) Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении и других областях науки и техники. Стереометрические знания широко используются в быту: рассчитать объём, вычислить оптимальную высоту для крыши на даче и т.д.

- Теперь давайте вспомним, что такое аксиома?
Аксиома (от греч. axíõma (αξίωμα) – принятие положения) – это утверждение о свойствах геометрических фигур, которое принимается в качестве исходных положений без доказательства. На основе аксиом доказываются леммы, теоремы и вообще строится вся геометрия.
- Вот что говорил об аксиомах немецкий философ Фридрих Энгельс: "Так называемые аксиомы математики – это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта».
А Евклиду приписывают слова: «Если теорему так и не смогли доказать, то она становится аксиомой».

- Аксиомы стереометрии состоят из всех аксиом планиметрии и трёх аксиом стереометрии.
- Давайте вспомним аксиомы планиметрии.
1. Аксиомы взаимного расположения точек и прямых. - Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. - Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. - Через любые две точки проходит прямая и притом только одна. - Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. 2. Аксиома параллельности. - Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. 3. Существуют и другие аксиомы: аксиомы измерения и откладывания отрезков и углов, аксиомы равенства фигур и т.д.
- Перейдём теперь к аксиомам стереометрии.

Аксиомы стереометрии.
В
А
С
α
А1 (аксиома способа задания плоскости). «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна».

Эту аксиому можно продемонстрировать на простом примере. Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. Именно поэтому некоторые декоративные столики делают с тремя ножками. Этого достаточно для устойчивости.

Ответьте на вопрос. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

Прочитайте чертеж и запишите с помощью символов
С
A

Аксиомы стереометрии.
В
А
α
А2 (аксиома взаимного расположения прямой и плоскости). «Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости».
Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Прочитайте чертеж и запишите с помощью символов.
c
b
B
a

Аксиомы стереометрии.
β
А
α
а
А3 (Аксиома взаимного расположения плоскостей). «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей».
Говорят: плоскости пересекаются по прямой.

Прочитайте чертеж и запишите с помощью символов.

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) точки, лежащие в плоскости SAB, в плоскости АВС; б) плоскости, в которых лежат прямая MN, прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB.

Закрепление.
1.Назовите плоскости, в которых лежат прямые: а) PE; б) DB; в) AB; г) EC.
D
P
A
C
E
B

Закрепление.
2. Назовите точку пересечения прямой СE с плоскостью ADB. 3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости: а) ABC и DCB; б) ABD и CDA;
D
P
A
C
E
B

Итог урока.
1) Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
2) Что такое стереометрия?
3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.
β
В
α
В
α
А
А
А
α

Домашнее задание: Прочитать пункты: Введение, 1, 2 (стр. 3 – 6) Выучить аксиомы стереометрии. Решить задачи: № 1; 3.