Презентация - Текстовые задачи на прогрессии и проценты

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Обоянская средняя общеобразовательная школа №2»
Текстовые задачи на прогрессии и проценты Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (занятие 2) Учитель математики высшей категории Манаенко Светлана Григорьевна 2014 год

Задачи на прогрессии
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

№1. (из открытого банка ЕГЭ-2014 прототип №110211) Бригада маляров красит забор длиной 810 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 180 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение: Пусть a₁ метров забора бригада покрасила в первый день; a₂ – во второй, a₃ – в третий, … , aп – в последний (n-ый) день. Тогда a₁ + an = 180 м, а за n дней было покрашено 810 м.

№2. (из открытого банка ЕГЭ-2014 прототип №110211) Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.

Решение: Пусть a₁ = 7 м тоннеля проложили в первый день; n = 9 дней, a₉ – в последний (n-ый) день. Тогда за 9 дней рабочими было проложено 99 м тоннеля.

Ответ:

№3. (из открытого банка ЕГЭ-2014, прототип №110999) Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 8 км. Определите, сколько км прошел турист за четвертый день, если весь путь он прошел за 10 дней, а расстояние между городами составляет 215 км.
Решение: Пусть a₁ = 8 км прошел турист в первый день; n = 10 дней, a₄ – в четвертый день, a₁₀ – в последний (n-ый) день. Тогда за 10 дней турист прошел 215 км.

№ 4 (из открытого банка задач ЕГЭ, №99586). Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Решение: Пусть прибыль составила в 2000 году 5000 рублей – 100%; в 2001 году: ? рублей – 100+300=400%; b₁ = 5000 q = 400/100 = 4 – ежегодное увеличение прибыли. в 2003 году: b₄ = b₁ · q³ = 5000 · 4³ = 320 000 рублей. Ответ: 320000 рублей

№5. (из открытого банка задач, №99587) Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: 1) Компания «Альфа»: Пусть в 2001 году капитал составил 5000 $ – 100%; в 2002 году: ? $ – 300%; b₁ = 5000 q = 300/100 = 3 – ежегодное увеличение капитала в «Альфа». в 2006 году: b₆ = b₁ · q⁵ = 5000 · 3⁵ = 1 215 000 $.

№5 (продолжение) Компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: 2) Компания «Бета»: Пусть в 2003 году капитал составил 10000 $ –100%; в 2004 году: ? $ – 500%; b₁ = 10000 q = 500/100 = 5 – ежегодное увеличение капитала в «Бета». в 2006 году: b₄ = b₁ · q₃ = 10000 · 5³ = 1 250 000 $. 3) 1 250 000 – 1 215 000 = 35 000 $ – разность капиталов. Ответ: 35000 $.

Если величину х увеличить на р %, получим х(1+0,01р) Если величину х уменьшить на р %, получим х(1-0,01р) Если величину х увеличить на р %, а затем уменьшить на q%, получим х(1+0,01р)(1-0,01q) Если величину х дважды увеличить на р %, получим х(1+0,01р)² Если величину х дважды уменьшить на р %, получим х(1-0,01р)²
Задачи на проценты

№6(из открытого банка ЕГЭ-2014,№99565). В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году − на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Решение: 1 способ В 2008 году: 40 000 чел. – 100% В 2009 году: х чел. – 100+8=108% Откуда х = 40 000 · 108 /100 = 43 200 чел. В 2009 году: 43 200 чел. – 100% В 2010 году: у чел. – 100+9=109% Откуда у = 43 200 · 109 /100 = 47 088 чел. 2 способ 40000·(1+0,01·8)·(1+0,01·9)=40000·1,08·1,09=47088 Ответ: 47088 чел.

№8 (из открытого банка ЕГЭ) Цена на товар была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000 р, а окончательная – 1805 рублей?
Решение: Пусть на x % снизили цену товара первый раз и на х % 2-ой раз, тогда товар стал стоить (1 – 0,01х)²·2000 руб. Известно, что товар стал стоить 1805 рублей. Составим уравнение: (1 – 0,01х)²·2000 = 1805 (1 – 0,01х)² = 1805/2000 (1 – 0,01х)² = 361/400 (1 – 0,01х)² =(19/20)² , т.к. 1 – 0,01х > 0, то 1 – 0,01х = 19/20 1 – 0,01х = 0,95 0,01х = 0,05 х = 5, значит на 5% снижалась цена товара каждый раз. Ответ: 5%.

№7(из открытого банка задач ЕГЭ-2014, №99570) Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон − 42000 рублей, Гоша − 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
Решение. Уставной капитал:200000 руб. – 100% Митя: – 14% Гоша: – 12% Антон: 42000 руб. – Борис: остальное – Антон внес: 42000 · 100 /200000 = 21% уставного капитала. Тогда Борис внес 100 – (14 + 12 + 21) = 53% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1 000 000 рублей Борису причитается 1000000 · 53 /100 = 530000 рублей. Ответ: 530000 руб.

№ 9 (из открытого банка ЕГЭ-2014,№99568) Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение: Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 4:2/3=6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи. Ответ: 27%

Задачи для самостоятельной работы
1. Цена телевизора в магазине ежегодно уменьшается на один и тот же процент по сравнению с предыдущим годом. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если, выставленный на продажу за 40000 рублей, через два года он был продан за 22500 рублей. 2. Бизнесмен Печенов получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 16% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Печенов за 2002 год? В 2008 году в городском квартале проживало 20000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 5%, а в 2010 году — на 7% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. Ермаков В.П. Удачи на экзаменах!!!