Презентация - Прогрессии

ПРОГРЕССИИ
Алгебра, 9 класс
Алексеева Валентина Александровна, учитель математики ГБОУ СОШ № 404 Колпинского района Санкт-Петербурга

обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме; отработка умений и навыков применения формул n –го члена прогрессии, суммы n первых членов прогрессии; развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом; развитие познавательной активности учащихся; воспитание эстетических качеств и умения общаться; формирование интереса к математике.
Цели урока:

Кроссворд
1. Как называется график квадратичной функции? 2. Математическое предложение, справедливость которого доказывается. 3. Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости. 4. Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся России начинают её изучать с 7 класса. 5. Линия на плоскости, задаваемая уравнением у=кх+b. 6. Числовой промежуток. 7. Предложение, принимаемое без доказательства. 8. Результат сложения 9. Название второй координаты на плоскости. 10. Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений.

В клинописных таблицах вавилонян в египетских пирамидах(II век до н.э.) встречаются примеры арифметический прогрессий. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (V в.н.э.)применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Правило для нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении Леонардо Пизанского «Книги Абака» в 1202 г.
Историческая справка

Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Последовательность в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему сложенному с одним и тем же числом.
Последовательность отличных от нуля чисел в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему умноженному на одно и тоже число.
Число d - разность прогрессии
Число q - знаменатель прогрессии.
d = a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 =….
q = b2:b1 = b3:b2 = b4:b3 =…

Формула n-го члена прогрессии
an=a1+d(n-1)
Дано: a1 = 7, d = 5
Найти: a4,.
a4=22
bn=b1qn-1
Дано: b1 = 3, q = 2
Найти: b3.
b3=12
арифметической,
геометрической

Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии
Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами последовательности (bn >0)
Характеристическое свойство прогрессий
Дано: х1, х2, 4, х4,14, … Найти: х4
Дано: b1, b2, 1, b4, 16, … все члены положительные числа Найти: b4
Х4=9
b4=4
арифметической,
геометрической

Формулы суммы n первых членов прогрессий
Дано: a1 = 5, d = 4
Найти: S5
S5 = 65
Дано: b1 = 2, q = - 3
Найти: S4
S4 = - 40
арифметической
геометрической

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
|q| < 1
Найти :
2

Самостоятельная работа ( тест)
1. Про арифметическую прогрессию (аn) известно, что а7 = 8, а8 = 12. найдите разность арифметической прогрессии.
А) -4
Б) 4
В) 20
Г) 3
Б) 18
В) 3
Г) 9
3. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?
А) -7
В) 12
Г) 17
4. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии 4; 8; …
А) - 254
Б) 508
В) 608
Г) - 508
Часть I (задания на 0,5 балла )
А) -3
Б) 6
А) 4
Б) - 2
В) 2
Г) - 4

6. В геометрической прогрессии (bn) b1 = 8, b3 = 24,q > 0.Найдите b5.
7. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены.
Количество набранных баллов оценка
1,5 – 2 балла «3»
2,5 – 4,5 балла «4»
5 – 7,5 баллов «5»
1. Б; 2. Г; 3. В; 4. Б; 5. А; 6. 72; 7. 1, 4
Самостоятельная работа ( тест)
Часть II (задание на 2 балла )
Часть III (задание на 3 балла )
Критерии оценок
Ответы

За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день.
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Решение: S₁₆=½ (2∙а₁ + 3∙15) ∙16; 472 =16 а₁ + 360; а₁ = (472- 360):16=7. а₁₆ =7+ 3 ∙ (16-1)=52. Ответ: 52 коралла украл Карл в последний день.

В сборнике по подготовке к экзамену-240 задач. Ученик планирует начать их решение 2 мая, а закончить 16 мая, решая каждый день на две задачи больше, чем в предыдущий день. Сколько задач ученик запланировал решить 12 мая?
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Решение: 240=½(2 а₁ +2 ∙14) ∙ 15; 240:15= а₁ + 14; а₁ = 2; а₁₁ = 2+2 ∙ 10 = 22. Ответ: 22 задачи надо решить 12 мая.

В амфитеатре расположены 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Решение: 280= а₁ + 20∙(10-1); а₁= 280 - 20 ∙ 9 = 100; S₁₀ = ½(100+280) ∙ 10 =1900. Ответ: 1900 человек вмещает амфитеатр.

Штангист поднимает штангу весом 45кг.С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько кг поднимет штангист за 7 подходов?
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Решение: Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420 кг.

В оранжерее детектива Нира Вульфа насчитывалось около 4000 орхидей, через 2 года количество орхидей увеличилось с 4000 до 16000. Сколько орхидей насчитывалось в оранжерее через 2 года, если они размножались в геометрической прогрессии?
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Решение: Ответ: 8000 орхидей насчитывалось в 2003 году в оранжерее.

На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь в двое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг?
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Ответ: за 7 лет.
Решение:

Строя пирамиды для фараонов египтяне в каждом следующем ряду плит устанавливали на одну плиту меньше, чем в предыдущем. На самом верху стены возвышается одна плита. Сколько всего плит понадобится только для одной стены пирамиды, если плиты стоят в 60 рядов?
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Ответ: 1830 плит только в одной стене пирамиды.
Решение: Считать ряды будем сверху.

В связи с истреблением лисицы из-за чрезмерного увеличения охоты на неё в Англии в одно время резко возросло поголовье кроликов, которые съедали посевы фермеров. Как быстро росло количество кроликов, если в одном из округов Англии их было 500 шт, а за 6 лет стало 16000?
Прогрессии в жизни, в быту и не только
Ответ: каждый год количество кроликов удваивалось.
Решение: