Презентация - Максимум и минимум функции

Максимум и минимум функции

Повторение
Найти область определения функции Найти множество значений функции Указать наибольшее значение функции Указать наименьшее значение функции
у
[- 7; 8]
7 6 5 4 3 2 1
[- 2; 4]
х
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
у наиб. = 4
у наим. = – 2

Повторение
у
Указать наибольшее значение функции на [-6; 0]. Указать наименьшее значение функции на [1; 6].
7 6 5 4 3 2 1
х
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Повторение
Геометрический смысл производной.
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y = f(x) в этой точке.

В точке х2 угол наклона касательной – острый, значит,
В точке х4 угол наклона касательной – тупой, значит,
у
В точке х3 угол наклона касательной – равен 0°, значит,
х
х2 х3 х4

Максимум функции на отрезке
Определение Говорят, что функция у = f(х) принимает на отрезке [a; b] наибольшее значение в точке х0 є [a;b], если для любого х є [a;b] выполняется f(x0) ≥ f(x). Наибольшее значение называют максимумом функции на отрезке [a;b], а точку х0 – точкой максимума Обозначение:

Минимум функции на отрезке.
Определение Говорят, что функция у = f(х) принимает на отрезке [a; b] наименьшее значение в точке х0 є [a;b], если для любого х є [a;b] выполняется f(x0) ≤ f(x). Наименьшее значение называют минимумом функции на отрезке [a;b], а точку х0 – точкой минимума Обозначение:

Окрестность точки
Точка О є (-1; 1) Интервал (-1; 1) – окрестность точки О. Определение Окрестностью точки называется некоторый интервал, содержащий данную точку
y
-1
x
О
у = f(х)

Точка локального максимума.
Пусть т. О є (-1; 1) Для любого х из окрестности точки О: f(0) > f(х) f(0) – максимальное значение функции на данном промежутке, т.е. х = 0 – точка локального максимума.
y
-1
x
О
у = f(х)

Точка локального минимума.
y
Точка А є (3; 5). Для любого х из окрестности точки А: f(4) < f(х) f(4) – минимальное значение функции на данном промежутке, т.е. х = 4 – точка локального минимума.
-1
x
у = f(х)
А

Сколько точек локального минимума и локального максимума имеет функция у=f(х)?
Локальный максимум
y
у = f(х)
Локальный минимум

Точки экстремума функции.
Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локальных экстремумов функции.
y
у = f(х)
Чему равна производная в точках локального экстремума?

Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума)
Теорема. Если х0 - точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f ´(х0) = 0. Геометрический смысл.
Ответим на вопрос - верно ли обратное утверждение:
y
f´(х1) = 0
если функция дифференцируема в точке х0 и f ´(х0) = 0 , то следует ли , что х0 - точка экстремума?
у = f(х)
x1
x2
x
f´(х2) = 0

Интересно: f ´(х0) = 0 х0 - точка экстремума
f (х) = х3 f ´(х) = 3х2 3х2 = 0; х = 0, т.е. f ´(0) = 0, но точка х = 0 не есть точка максимума или точка минимума (обоснуйте, используя определение) Значит, х = 0 – не является точкой экстремума.
f (х)= х3
Точки, в которых f´(х) = 0 называются стационарными точками.

Задача №1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции f (х) = х3 - 3х2 на [-1; 4]
Решение.
3) f (-1) = (-1)3 – 3∙(-1) 2=
- 4
1) f ´ (х) = 3х2 - 6х
f (4) = 43 – 3∙42=
f (0) =
2) 3х2 – 6х = 0
- 4
f (2) = 23 – 3∙22=
3х (х - 2) =0
x = 0 и х - 2 = 0
х = 2

Задача №2
Найти максимум и минимум функции f(x)= |x-2| на отрезке [0; 6]
В точке х = 2 функция не имеет производной (см. П.4.1)
Решение.
y
f(х)=|x-2|
x
Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Ответьте на вопросы.
Что называется максимумом функции на отрезке? Что называется минимумом функции на отрезке? Что называется локальным минимумом? Локальным максимумом? Какие точки называются точками экстремума? Чему равна производная в точке экстремума? Верно ли обратное утверждение? Как называются точки, в которых производная функции равна нулю? Какие точки называются критическими точками функции?

Проверь себя (пронумеруй задания 1 – 7, запиши ответы и сверь их с ответами, приведёнными в таблице на последнем слайде)

№1 В каких точках производная функции равна нулю?
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
y
у = f(х)
х6
х 3
х 5
●
●
●
●
●
●
O
х 1
х 2
х 4
x

№2 В каких точках производная функции равна нулю?
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
y
у = f(х)
●
●
●
O
х 2
х 3
x
х 1

№3 В каких точках производная функции равна нулю?
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
y
у = f(х)
●
●
●
O
х 2
х 3
x
х 1

№4 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует?
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
y
у = f(х)
●
●
●
●
O
x
х 1
х 2
х 3
х 4

№5 В каких точках производная функции равна нулю?
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
y
у = f(х)
●
●
●
●
O
х 1
х 2
x
х 3
х 4

№6 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует?
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
y
у = f(х)
х 5
х 7
●
●
●
●
●
●
●
O
х 1
х 3
х 4
х 6
x
х 2

№7 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует?
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
.............................
y
у = f(х)
х 3
х 6
●
●
●
●
●
●
●
O
х 1
х 2
х4
х5
х7
x

№ задания.Производная равна 0 в точках.Производная не существует в точках
1.х 1, х 3, х 5.
2.х 2.
3..
4.( х 3 ; х 4 ).х 2; х 3
5.х 3.
6.( х 1 ; х 2 ), ( х 3 ; х 4 ).х 1; х 2; х 3; х 4; х 5 ; х 6
7.х 1; х 4; х 6.х 2; х 3