Презентация - Сумма углов многоугольника

Сумма углов многоугольника

Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью, называется многоугольником. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, стороны ломаной — сторонами многоугольника, а углы, образованные соседними сторонами, — углами многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.
На рисунках приведены примеры выпуклого и невыпуклого четырехугольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n-2).
Доказательство 1. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Из выпуклости данного n-угольника следует, что эти диагонали разбивают его на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).

Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A1…An. Соединим её отрезками с вершинами этого многоугольника. Из выпуклости данного n-угольника следует, что эти отрезки разбивают n-угольник на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360о. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).

Упражнение 1
Чему равна сумма углов выпуклого: а) 4-угольника; б) 5-угольника; в) 6-угольника?
Ответ: а) 360о;
б) 540о;
в) 720о.

Упражнение 2
Чему равен внешний угол правильного: а) 3-угольника; б) 4-угольника; в) 5-угольника; г) 6-угольника?
в) 72о;
Ответ: а) 120о;
б) 90о;
г) 60о.

Упражнение 3
Докажите, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360о.
Доказательство. Внешний угол выпуклого многоугольника равен 180о минус соответствующий внутренний угол. Следовательно, сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 180оn минус сумма внутренних углов. Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180о(n-2), то искомая сумма внешних углов будет равна 180оn - 180о(n-2) = 360о.

Упражнение 4
Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника?
Ответ: а) 60о;
б) 90о;
в) 108о;
г) 120о;
д) 135о;
е) 144о;
ж) 150о.

Упражнение 5
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900o. Сколько у него сторон?
Ответ: 7.

Упражнение 6
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен: а) 36o; б) 24o?
Ответ: а) 10;
б) 15.

Упражнение 7*
Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник?
Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов. Ответ. 3.

Упражнение 8
Найдите сумму углов невыпуклого четырехугольника ABCD.
Ответ: 360о.

Упражнение 9*
Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5 пятиугольной звездочки, изображенной на рисунке.

Упражнение 10*
Чему равна сумма углов 1, 2, 3, 4 звёздчатого четырёхугольника?

Упражнение 11*
Найдите суммы углов звёздчатых многоугольников, изображённых на рисунках.
б)
в)
а)
Ответ. а) 720о;
б) 180о;
в) 540о.

Упражнение 12*
Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 семиугольной звездочки, изображенной на рисунке.
,
Следовательно,