Презентация - Геометрия 9 класс «Теорема синусов и косинусов»

ТЕОРЕМЫ синусов и косинусов
Геометрия, 9 класс

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ
ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

S - ?
В
А
С
8
6
30
S = 12
о

В
D
С
120
А
BD = 6, AC = 10 S - ?
S = 15

А
B
C
D
6
4
60
о
S - ?
S = 12

В
D
С
135
А
AC = 12 S - ?
S = 36
о

В
D
С
120
А
BD = 10, ВC = 5 CD - ?
CD = 5
о

А
B
C
D
8
4
60
о
ВН - ? ВК - ?
Н
К
ВН = 2 ВК = 4

А
В
С
Н
4
6
60
о
ВС = 2
АН - ?
АН =

ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

Дано: АВС Доказать:
А
В
С

Доказательство: S ABC = (1) S ABC = (2) S ABC = (3)
А
В
С

Приравняем равенства (1) и (2), получим = Сократим на , получим =

Приравняем равенства (2) и (3), получим = Сократим на , получим =

Объединив равенства
И
получим
ЧТД

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС Доказать: a = b + c –2bc*cosA

А
С
В
(bcosA; bsinA)
у
х
(с; 0)

Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А. Тогда В (с; 0), С (bcosA; bsinA). Найдем расстояние ВС: ВС = а = (bcosA – c) + b sin A = b cos A + b sin A - 2bc cosA + c = b + c - 2bc cosA
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ЧТД