Презентация - Прямые и плоскости в пространстве

Раздел 3 . Прямые и плоскости в пространстве 3.1 Прямые в пространстве 3.1.1 Взаимное расположение двух прямых в пространстве. 3.1.2 Параллельность прямой и плоскости.

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость и расстояние от точки до точки. В стереометрии изучают свойства фигур, не все точки которых лежат в одной плоскости – пространственных фигур . Геометрическое тело – часть пространства, занимаемая предметом и изучаемая относительно её формы и размера, независимо от физических свойств предмета. Геометрическое тело отделяется от окружающего пространства поверхностью .

Равными (конгруэнтными) фигурами называются такие две фигуры, которые можно совместить так, чтобы они совпали во всех своих частях. Две фигуры, состоящие из одних и тех же точек, мы будем рассматривать как одну и ту же фигуру.

Основной геометрической образ стереометрии – плоскость. Свойства плоскости, принимаемые без доказательств: Плоскость есть поверхность незамкнутая (безграничная), но на чертеже условно обозначается в виде параллелограмма и обозначается буквой греческого алфавита (например, плоскость

Любая плоскость делит пространство на две области, расположенные по разные стороны от этой плоскости Если прямая имеет с плоскостью только одну общую точку, то она ее пересекает, переходя из части пространства, лежащей по одну сторону плоскости, в часть пространства, лежащую по другую её сторону.

Аксиомы стериометрии: Аксиома 1: Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, при том только одну.

Аксиома 2: Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит: Фигура, являющаяся прямой в одной плоскости, является прямой и в любой другой плоскости, на которой она лежит. Поэтому, прямую в пространстве можно рассматривать саму по себе, независимо от плоскостей, в которых она лежит.

Аксиома 3: Если две точки прямой лежат на плоскости, то и вся прямая лежит на той же плоскости. Значит: Если прямая не лежит на плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Пример: А) в какой плоскости лежит прямая РЕ? РЕ Прямая РЕ лежит в плоскости АВD , так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка Е лежит в плоскости АВD и точка Р лежит в этой же плоскости. Значит, по второй аксиоме все точки прямой РЕ лежат в плоскости АВD .

Аксиома 4: Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же в любой плоскости, проходящей через эти точки. Следствие 1: Через прямую а и точку С вне ее можно провести плоскость, и при том только одну. Значит: На прямой а можно взять любые две точки, которые вместе с точкой С образуют три точки, не лежащие не на одной прямой по А1 через эти три точки можно провести плоскость, и при том только одну.

Замечание: Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей.

Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствие 3: Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Значит: Эта плоскость единственная, т.к параллельными называют две прямые, лежащие на одной плоскости и не имеющие точек пересечения.

Аксиома (из планиметрии): Через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой. Она справедлива и в стереометрии, тк если прямые в пространстве параллельны, то они лежат на одной плоскости.

В пространстве две прямые могут: Лежать на одной плоскости, при этом : - иметь общую точку (пересекающиеся прямые) - не иметь общих точек (параллельные прямые) Не лежать на одной плоскости и не иметь общих точек

Две прямые в пространстве, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися. Углом, между двумя скрещивающимися прямыми называется угол, который образуется двумя параллельными им лучами, исходящими из одной точки.

Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек. Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Замечания: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

а) прямая лежит в плоскости; б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку; в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

Случаи взаимного расположения плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.