Презентация - Текстовые задачи

МБОУ «Гимназия №2» «Текстовые задачи».
Работу выполнила ученица 9 «А» класса Красавина Анна. Преподаватель: Родионова Н.Ю. г. Вышний Волочёк 2017-2018 гг.

Умение решать текстовые задачи является одним из показателей уровня математического развития. Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения – процесс изобретательства. В настоящее время ГИА по математике в 9-ых классах, ЕГЭ - в 11-ых классах, вступительные экзамены в вузы содержат разнообразные текстовые задачи.

1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач. 2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению. 3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету. 5. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Классификация текстовых задач.
задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием «процента»; задачи на прогрессии; задачи на движение; задачи на совместную работу; задачи на смеси и сплавы.

Стандартная схема решения:
1. Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче. 2. Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств). 3. Решение полученного уравнения или системы уравнений. 4. Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Задачи на движение
При решении этих задач принимают следующие допущения: Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным. Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно. Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у). При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой. Пусть расстояние между точками А и В равно S. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v1 и v2. Пусть С – точка встречи, а t – время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем АС=v1t, BC=v2t. Сложим эти два равенства: АС+СВ=v1t+v2t=(v1+v2)t  AB=S=(v1+v2)t 

Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем АС=v1t, BC=v2t. Вычтем эти равенства: АС–ВС=(v1–v2)t. Так как АС–ВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством

Задачи на совместную работу
Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

Стандартная схема решения задач этого типа.
Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим, у – время выполнения этой же работы вторым рабочим. Тогда – производительность труда первого рабочего, – производительность труда второго рабочего. – совместная производительность труда. – время, за которое они выполнят задание, работая вместе

Задачи на смеси и сплавы
В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое? Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно 0,3. Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет 30 о/о.

Задачи на проценты
Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Одна из практико-ориентированных задач, в соответствии с уже сложившейся традицией, – это задача с реальным сюжетом, связанная с выполнением несложных процентных расчетов. Ее особенностью является необходимость выбора из условия нужных данных.

Задание.
Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре — 2000 р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 2 до 5 человек — 3%;  более 5 человек — 5%». Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 6 человек?       1)   600 р.        2) 1900 р.       3) 12000 р.       4) 11400 р. Разброс результатов решения этой задачи по территориям  небольшой, и практически всюду они соответствуют прогнозируемым. Наиболее распространенной была следующая ошибка: учащиеся выбирали ответ из расчета суммы, необходимой для одного человека из группы. Таким образом, было проявлено не отсутствие умения найти процент от числа, а неспособность разобраться в несложной фабуле. Этот недостаток в подготовке учащихся проявлялся и в предыдущие годы, что еще раз говорит о необходимости усиления внимания к осознанной работе с текстами.

Алгоритмы решения задач данного типа.
Пусть известна некоторая величина А, надо найти а % этой величины. Если считать, что А есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции имеем . Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А. Требуется найти А. Рассуждая аналогично, из пропорции получаем

ЗАДАЧИ НА ПРОГРЕССИИ
Задания этого раздела направлены на проверку умений: - решать задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессией; - применять аппарат уравнений и неравенств при решении задач на прогрессии.

Геометрическая прогрессия:
По преданию, шахматы были изобретены в Vв. н. э. в Индии. Богатый индусский царь Шерам был так восхищён этой игрой, что решил достойно отблагодарить изобретателя шахмат Сета. Сета попросил награду, на первый взгляд поразившую своей «скромностью». Он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку – 2 пшеничных зерна, за третью – 4, за четвёртую – 8 зёрен, за пятую – 16 зёрен и т.д. до 64-й клетки доски, т.е. за каждую следующую клетку доски следует выдавать в 2 раза больше, чем за предыдущую.

Царь Шерам был недоволен, так как считал, что Сета, прося столь ничтожную награду, пренебрегает царской милостью. Попытаемся вместе с придворным царским математиком подсчитать, сколько же зёрен пшеницы должен получить изобретатель Сета.

Для того, чтобы подсчитать величину награды, мы должны сложить зёрна, лежащие на всех клеточках доски, т.е. сложить числа 1, 2, 22 , 23 , … 263 . Обозначим их сумму через S. Тогда S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 . Таким образом, S = 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Читается это гигантское число так: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяч 615! Такую награду должен был дать царь Шерам изобретателю Сету. Чтобы поместить эти зерна в амбар, в основании которого лежит прямоугольник 8 Х 10 м, высоту этого амбара нужно взять равной 150 000 000 км – она совпадает с расстоянием до от Земли до солнца! Такого количества зерна нет ни у какого царя, и просьбу Сета выполнить невозможно. Итак, задания, входящие в ГИА, довольно трудны, но вполне решаемы при должной подготовке.