Презентация - Формулы сокращенного умножения (7 класс)

Формулы сокращенного умножения (7 класс)
Учитель математики ГБОУ СОШ№339 Павлова Любовь Васильевна

Основные математические понятия
Квадрат суммы и разность двух выражений куб суммы и разность двух выражений разность квадратов двух выражений разность и сумма кубов двух выражений применение ФСУ в преобразовании выражений

Цели изучения темы:
Обучающие: Повторить тему умножения многочленов вывести ФСУ Научить правильно словесно проговаривать формулы Применение формул в обе стороны (“Слева направо” и “справа налево” Развивающие: Развитие интереса к предмету развитие внимания развитие логических умений

ФСУ, изучаемые и используемые в 7 классе
Обязательные (базовые) Квадрат суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2 Квадрат разности: (a-b)2=a2-2ab+b2 Разность квадратов: a2-b2= (a+b)(a-b) Повышенного уровня Куб суммы: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Куб разности: (a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3 Сумма кубов: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) разность кубов: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
3) Профильного уровня квадрат суммы 4 слагаемых: (a+b+c+d)=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) Квадрат суммы n слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений этих слагаемых: (a1+a2+...+an)2=a12+a22+...+an2+ 2(a1a2+....) (a+b)n(Бином Ньютона) , где числовые коэффициенты определяются с помощью “треугольника Паскаля”

Треугольник Паскаля (необязятельный слайд, просто напоминание)
1 (a+b) 0 1 1 (a+b)1 1 2 1 (a+b)2 1 3 3 1 (a+b)3 1 4 6 4 1 (a+b)4

Основные методические положения работы с ФСУ
Умение видеть квадрат выражение, а не “Квадрат числа”, для этого целесообразно при изучении темы использование схем (a+b)2=a2+2ab+b2 Пример

Основные методические положения работы с ФСУ
2) Акцентирование внимания на словесной формулировке формул Квадрат разности (a-b)2 = a2-2ab+b2 Разность квадратов a2-b2= (a+b)(a-b) (Первое слово соответствует последнему действию)

3) Иcпользование формул сначала “Слева направо” , затем - “Справа налево” представить выражение в виде слагаемых: а) (3a+2b)2= 9a2 + 12ab +4b2 b) (4a-2b)2 = 16a2 - 16ab +4b2 Представить сумму в виде произведения (разложить на множители выражение) а) 4x2-4xy+y2= (2x-y)2 b) 16 a2+24ab +9b2= (4a+3b)2

4) Последовательность в изложении материала (сначала рассматривать задания базового уровня, затем повышенного) упростите выражение: (базовый) (3p+1)(3p-1) = (повышенный) (4x-5y)+(5y+4x)= Вычислите: (Базовый) 79*81 = (80-1)(80+1)=6400-1=6399 (Повышенный) 2,7*3,3 = (3-0,3)(3+0,3)= 9-0,09 = 8,91 (Профильный) Сравнить: 2463572 и 246356*246358

Применение формул сокращенного умножения
При вычислении: (532+222-472-162):(652-2*65*59+59)2 = …. При сокращении дробей: = При преобразовании выражений (1-a)(1-a+a2)(1+a+a2)(1+a)=(1-a3)(1+a3)=1-a6 При решении уравнений: x2-6x+5 = 0 x2-6x+9-4 = 0 (x-3)2-4 = 0 (x-3)2-22 = 0 (x-3+2)(x-3-2)=0 ...
5) При решении систем уравнений x-5y = 5 x2-25y2 = -75
4x2+4x+1 = (x-2)2 (2x+1)2=(x-2)2 (2x+1)2-(x-2)2=0 (2x+1+x-2)(2x+1-x+2) = 0 ...

Типовые ошибки при работе с ФСУ, их причины и возможности устранения
выделяют квадрат только из неизвестных, оставляя их коэффициенты без изменений Причина: учащиеся не до конца понимают формулы, не запоминают их или не могут быстро оценить порядок выполнения действий в предложенном буквенном ряду Пример: 4x2-16y2=(4x-16y)(4x+16y) (Ошибка) Для устранения ошибки необходима подготовительная работа - научить “видеть квадрат выражения”, а также уделить внимание порядку выполнения действий: Представить в виде квадрата 16x2; 25b4; 36x6 представить в виде куба 8a3; 125x6 Измените порядок выполнения действий при определенном значении х: 9x2 возведение в степень - умножение умножение - возведение в степень. Сравнить результаты

2) путают формулы (Путают “правые” и “левые” части формул) Пример: (3a-2b)2=(3a-2b)*(3a+2b) Для устранения этой ошибки надо акцентировать внимание учащихся на том, что во всех ФСУ в одной части формулы - произведение, а в другой сумма.
Также полезно для предотвращения ошибок, выполнять задания на внимательность (найти ошибку и проанализировать ее) (x-8)(x+8)=x2-64 (2x+3)2=4x+9 (5x+3)(3-5x)=25x2-9 (x-9)2 = x2 +18x+81 (x-6)(x+6) = x2-12
3) Ошибаются со знаком пример: (-x-4)2 = -(x2+8x+16) (-x-4)2 = x2-8x+16 Для устранения ошибки, следует с учащимися обводить одночлены и задания из пункта (1)

4) наибольшие проблемы появляются на этапе применения формул, при действии с алгебраическими дробями Для профилактики этой ошибки следует акцентировать внимание учащихся на том, что квадраты (и вообще четные степени) противоположных выражений равны (a-b)2=(b-a)2, но (a-b)3≠(b-a)3

Мотивация к изучению темы.
Для лучшего усвоения темы, запоминания ФСУ и их использования при решении задач будет полезно изучение истории этой задачи (и их геометрического вывода) История ФСУ: Многие ФСУ были известны еще 4 тысячи лет назад. в 6 веке до нашей эры. Общие утверждения о преобразованиях многочленов, применение формул и правил были установлены Пифагором (6 век до н.э. и тогда многие алгебраические выражения доказывались в геометрической форме.
(a+b)2
(a-b)2
a2-b2

2) Также заинтересованность в изучении темы “подогревают” математические фокусы: фокус: Задумайте число (до 10) Умножьте его на себя Прибавьте к результату задуманное число к полученной сумме добавьте 1 назовите мне полученный результат и я скажу какое число вы задумали. (решение: x*x+x+1+x = x2+2x+1 = (x+1)2)