Презентация - Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней»

Нажмите для просмотра
Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней»
Распечатать
  • Последний IP: 185.191.171.4
  • Уникальность: 81%
  • Слайдов: 17
  • Просмотров: 2355
  • Скачиваний: 1538
  • Размер: 2.52 MB
  • Онлайн: Да
  • Формат: ppt и pptx
В закладки
Оцени!

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 1
Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней»
Выполнила студентка группы (ФИО)

Слайд 2

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 2
Давайте вспомним что такое уравнения n-ой степени Определение 1. Уравнением n-ой степени называется уравнение вида: a0xⁿ+a1xn-1+a2xⁿ-²+…+an-1x+an = 0, где коэффициенты a0, a1, a2…, an-1, an – любые действительные числа, причём, a0 ≠ 0 [3]. Многочлен a0xⁿ+a1xn-1+a2 xⁿ-²+…+an-1x+an называют многочленом n-ой степени. Коэффициенты различают по названиям: a0 – старший коэффициент; an – свободный член. Определение 2. Решениями или корнями для данного уравнения являются все значения переменной х, которые обращают это уравнение в верное числовое равенство или, при котором многочлен a0 xⁿ+a1 xn-1+a2 xⁿ-²+…+an-1x+an обращается в нуль. Такое значение переменной х называют также корнем многочлена. Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет. Если a0 = 1, то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени.

Слайд 3

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 3
Исторические факты решения уравнений высших степеней Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С помощью уравнений высших степеней решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n-ой степени нет. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах.

Слайд 4

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 4
Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n = 3 и n = 4. Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимались Сципион дель Ферро и его ученики Фиори и Тарталья. В 1545 году вышла книга итальянского математика Д. Кардано «Великое искусство, или о правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений, а также метод решения уравнений 4-й степени, открытый его учеником Л. Феррари. Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й и 4-й степеней, дал Ф. Виет.
Сципион Дель Ферро

Слайд 5

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 5
В 20-х годах 19 века, норвежский математик Н. Абель доказал, что корни уравнений пятой степени не могут быть выражены через радикалы. В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно множество способов решения уравнений n-ой степени. Результатом поиска методов решения уравнений высших степеней, неподдающихся решению способами, рассматриваемыми в школьной программе, стали способы, основанные на применении теоремы Виета (для уравнений степени n>2), теоремы Безу, схемы Горнера, а также формула Кардано и Феррари для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. В работе представлены методы решения уравнений и их виды, которые для нас стали открытием. К ним можно отнести – метод неопределенных коэффициентов, выделение полной степени, симметрические уравнения.

Слайд 6

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 6
Виды уравнений высших степеней: Уравнения третьей степени Биквадратные уравнения Возвратные уравнения Однородные уравнения Уравнения четвертой степени Уравнения пятой степени Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Метод замены переменной Функционально-графический способ

Слайд 7

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 7
Омар Хайям (ок. 1048- ок. 1123) Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения.

Слайд 8

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 8

Слайд 9

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 9

Слайд 10

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 10
Уравнения, приводимые к квадратным (биквадратные) К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax4 + bx2 + c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х2 = y, следовательно, ay² + by + c = 0 найдём корни полученного квадратного уравнения: y1,2 = заменим y на x и получим:

Слайд 11

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 11
Пример решения биквадратного уравнения: x⁴ - 25x² = 0 сделаем замену x² = y получим квадратное уравнение y² - 25y = 0 y₁ = 25 y₂ = 0 значит, x² = 25; x² = 0 Ответ: x₁ = 0; x₂ = 5; x₃ = -5

Слайд 12

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 12
Возвратные уравнения Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение а0хn + a1xn – 1 + … + an – 1x +an=0, в котором ак = an – k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.
Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.

Слайд 13

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 13
Пример решения возвратного уравнения:

Слайд 14

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 14
Решение уравнений 3-ей и 4-ой степени с помощью теоремы Безу
Теорема Безу:
Если уравнение a0 xⁿ+a1 xn-1+a2 xn-2+…+an-1 x+an= 0, в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Слайд 15

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 15
Пример: х3 - 6х2 + 5х + 12 = 0   Делители 12: ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12 х = -1 – корень уравнения т.к. - 1 - 6 - 5 + 12 = 0 _х3 - 6х2 + 5х + 12 х +1 х3 + х2 х2 – 7х + 12 _ -7х2 + 5х -7х2 – 7х _ 12х + 12 12х +12 0 (х2 – 7х + 12)(х +1) = 0 х2 – 7х + 12 = 0 или х + 1 = 0 х1 + х2 = 7 х1 = 3 х = -1 х1 х2 = 12 х2 = 4 Ответ: х1 = 3; х2 = 4: х3 = -1.

Слайд 16

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 16
Решение уравнений высших степеней с помощью схемы Горнера
Пример:

Слайд 17

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней», слайд 17
Благодарю за внимание!
^ Наверх
X

Благодарим за оценку!

Мы будем признательны, если Вы так же поделитесь этой презентацией со своими друзьями и подписчиками.