Презентация - Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней»

Исследовательский проект на тему «Уравнения высших степеней»
Выполнила студентка группы (ФИО)

Давайте вспомним что такое уравнения n-ой степени Определение 1. Уравнением n-ой степени называется уравнение вида: a0xⁿ+a1xn-1+a2xⁿ-²+…+an-1x+an = 0, где коэффициенты a0, a1, a2…, an-1, an – любые действительные числа, причём, a0 ≠ 0 [3]. Многочлен a0xⁿ+a1xn-1+a2 xⁿ-²+…+an-1x+an называют многочленом n-ой степени. Коэффициенты различают по названиям: a0 – старший коэффициент; an – свободный член. Определение 2. Решениями или корнями для данного уравнения являются все значения переменной х, которые обращают это уравнение в верное числовое равенство или, при котором многочлен a0 xⁿ+a1 xn-1+a2 xⁿ-²+…+an-1x+an обращается в нуль. Такое значение переменной х называют также корнем многочлена. Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет. Если a0 = 1, то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени.

Исторические факты решения уравнений высших степеней Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С помощью уравнений высших степеней решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n-ой степени нет. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах.

Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n = 3 и n = 4. Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимались Сципион дель Ферро и его ученики Фиори и Тарталья. В 1545 году вышла книга итальянского математика Д. Кардано «Великое искусство, или о правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений, а также метод решения уравнений 4-й степени, открытый его учеником Л. Феррари. Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й и 4-й степеней, дал Ф. Виет.
Сципион Дель Ферро

В 20-х годах 19 века, норвежский математик Н. Абель доказал, что корни уравнений пятой степени не могут быть выражены через радикалы. В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно множество способов решения уравнений n-ой степени. Результатом поиска методов решения уравнений высших степеней, неподдающихся решению способами, рассматриваемыми в школьной программе, стали способы, основанные на применении теоремы Виета (для уравнений степени n>2), теоремы Безу, схемы Горнера, а также формула Кардано и Феррари для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. В работе представлены методы решения уравнений и их виды, которые для нас стали открытием. К ним можно отнести – метод неопределенных коэффициентов, выделение полной степени, симметрические уравнения.

Виды уравнений высших степеней: Уравнения третьей степени Биквадратные уравнения Возвратные уравнения Однородные уравнения Уравнения четвертой степени Уравнения пятой степени Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Метод замены переменной Функционально-графический способ

Омар Хайям (ок. 1048- ок. 1123) Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения.

Уравнения, приводимые к квадратным (биквадратные) К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax4 + bx2 + c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х2 = y, следовательно, ay² + by + c = 0 найдём корни полученного квадратного уравнения: y1,2 = заменим y на x и получим:

Пример решения биквадратного уравнения: x⁴ - 25x² = 0 сделаем замену x² = y получим квадратное уравнение y² - 25y = 0 y₁ = 25 y₂ = 0 значит, x² = 25; x² = 0 Ответ: x₁ = 0; x₂ = 5; x₃ = -5

Возвратные уравнения Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение а0хn + a1xn – 1 + … + an – 1x +an=0, в котором ак = an – k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.
Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.

Пример решения возвратного уравнения:

Решение уравнений 3-ей и 4-ой степени с помощью теоремы Безу
Теорема Безу:
Если уравнение a0 xⁿ+a1 xn-1+a2 xn-2+…+an-1 x+an= 0, в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Пример: х3 - 6х2 + 5х + 12 = 0   Делители 12: ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12 х = -1 – корень уравнения т.к. - 1 - 6 - 5 + 12 = 0 _х3 - 6х2 + 5х + 12 х +1 х3 + х2 х2 – 7х + 12 _ -7х2 + 5х -7х2 – 7х _ 12х + 12 12х +12 0 (х2 – 7х + 12)(х +1) = 0 х2 – 7х + 12 = 0 или х + 1 = 0 х1 + х2 = 7 х1 = 3 х = -1 х1 х2 = 12 х2 = 4 Ответ: х1 = 3; х2 = 4: х3 = -1.

Решение уравнений высших степеней с помощью схемы Горнера
Пример:

Благодарю за внимание!