Презентация - Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач

«Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач» учитель математики муниципального общеобразовательного учреждения Арсугская СОШ Алавдинов Рамазан Гасанович

ОБУЧАЮЩАЯ :
обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (или буквенное значение) какого-либо элемента . учиться умению читать чертеж, учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания, развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).
РАЗВИВАЮЩАЯ :
развивать у учащихся коммуникативные компетенции, способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
ЦЕЛЬ УРОКА

Проверка домашнего задания.
ПЛАН УРОКА
I. Организационный момент.
III. Актуализация знаний.
IY. Применение теории на практике.
Y. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий
YI. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя
YII. Подведение итогов.
YIII. Домашнее задание.
Дерзай !!!
II.

«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. ЕСТЬ ИСТИНЫ, как страны, НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ» (Дени Дидро).
ЭПИГРАФ К УРОКУ
Denis Diderot
1713 - 1784
Екатерина II

Акцентируем теорию по теме.
1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые? Ответ: перпендикулярные. 2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости» Ответ: да. 3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Ответ: если пряма перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? Ответ: как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой. 5. По рисунку назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, основание наклонной и её проекцию на плоскость α. 6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.
α
K
D
P

Теорема о трёх перпендикулярах.
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной Обратно: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции.

Дано: α , АС – наклонная, ВС – проекция, ВС ┴ с , АВ ┴ α. Доказать: АС ┴ с. Доказательство. 1.Проведем СА1 ┴ с . 2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны). 3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β. 4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с ┴ β, значит, с ┴АС.

Iспособ (от противного)
Теорема: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Доказательство: Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA> SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: Получаем: ОА>OB. Между тем ОА < OB, так как ОА ┴ t по условию. К данному противоречию нас привело предположение, что SA не перпендикулярна прямой t. Значит, SA┴ t.
S

II способ (свойства равнобедренного треугольника)
Доказательство: От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.

III способ (теорема Пифагора)
Доказательство: На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Вычтя из первого равенства второе, получим:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.

IV способ (векторный)
Доказательство: Зададим векторы Умножим обе части на Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю: Но и не нулевые векторы, значит, , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

Задача № 1
Дано: АВСК –прямоугольник. Доказать:

Задача № 2
Дано: Доказать:
C

Задача № 3 Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?
Ответ: А1ВСD1 - прямоугольник

Задача №4 На изображении куба построить несколько прямых перпендикулярных диагонали куба.

Задача №154 (Атанасян)
Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.
Думай
Д
У
М
А
Й
!
!
!

Задача № 158
Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямы, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, угол BAD равен 60 градусам, ВМ = 12,5 см.
Р
Е
Ш
А
Й
!!!

Задача №161
Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если угол АВС равен углу ABD, причем угол АВС меньше 90 градусов, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.
о
трех
перпендикуляра х -
это
. . .
Теорема

Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны). Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)? Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)? Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)? Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой ( прямая а и плоскость, перпендикулярные к одной прямой с)? Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

Критерии оценок 7 правильных ответов – «5» 6 правильных ответов – «4» 5 правильных ответов – «3»
1 2 3 4 5 6 7
I вариант - + - - + - -
II вариант + - - - - - +

I уровень.(на «3») Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана. Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС)). II уровень ( на «4») Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см. Найти: расстояние от точки К до (АВС). III уровень.( на «5») Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС), <А – меньший, АМ = 20 см. Найти: МЕ.

Подведение итогов.
Дано: AD┴ (АВС), Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ? Ответ обоснуйте.
D
A
B
C

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. № 145, 143, 140. 2. Ответить на вопросы пп 19, 20. 3. Дополнительная задача: Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если площадь ромба равна 80 ,высота – 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45 градусов.
Дальнейших успехов !!!
СПАСИБО!