Презентация - Подготовка к ЕГЭ «Исследование функций с применением производной»

Учительство - не труд, а отреченье, Умение всего себя отдать, Уйти на долгий подвиг и мученье, И в этом видеть свет и благодать. Учительство - когда в глазах холодных Зажжется понимания заря, И ты поймешь: старался не бесплодно И знания разбрасывал не зря.

Липлянская Татьяна Геннадьевна, учитель математики МОБУ «СОШ №3» город Ясный Оренбургская область

Подготовка к ЕГЭ

Исследование функций с применением производной
Исследование функции на экстремумы; Исследование функции на возрастание/ убывание; Исследование функции на наибольшие и наименьшие значения на отрезке; Исследование функции с помощью графика ее производной (чтение графика производной)

Если f′(x)>0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) возрастает на этом интервале.
Если f′(x)<0 в каждой точке интервала, то функция y=f(x) убывает на этом интервале.
Исследование функции на возрастание (убывание)
f(x) дифференцируема на интервале (a;b)

Признак максимума. Если функция f(x) – непрерывна в точке х0
Признак минимума. Если функция f(x) – непрерывна в точке х0
Исследование функции на экстремумы

x
y
a
b
y=f(x)
точка максимума
точка максимума
точка минимума
f(x)
f′(x)
a
b
+
+
-
-
Графическая интерпретация
0
x

точка максимума
точка минимума
точка максимума

Алгоритм
1. Найти f ′ (x)
2. Найти стационарные (f′(x)=0) и критические точки (f′(x) не существует)
3. Определить знаки производной, выполнить графическую иллюстрацию.
1) y / = 3x2 – 48
2) y / = 3x2 – 48 = 3(x2 – 16) = 3(x – 4)(x + 4)
1. Найдите точку минимума функции y = x3 – 48x + 17
Ответ: 4
3(x – 4)(x + 4)=0
х = 4, х = - 4
Точка минимума
Найти область определения функции: D(y)=(-∞;+∞)

Реши самостоятельно!
Ответ: 2
Проверь себя: D(y)=(-∞;+∞)
у
у′
+
-
-

Реши самостоятельно!
Ответ: -3
Проверь себя: D(y)=(-∞;+∞)
у
у′
+
-
+

4. Найдите точку минимума функции y = 2х – ln(x+3) + 7
Ответ: -2,5

5. Найдите точку минимума функции
Ответ: 2

6. Найдите точку минимума функции
Ответ: -17

7. Найдите точку минимума функции
Ответ: 4
0

8. Найдите точку максимума функции
Ответ: 9

9. Найдите точку максимума функции
Ответ: 17

10. Найдите точку максимума функции y = ln(9x+10) – 9х
Ответ: -1

11. Найдите точку минимума функции
Ответ: -3

Найдите наименьшее значение функции y = 3x2 – 2x3 + 1 на отрезке [-4;0]
Алгоритм
1. Найти f ′ (x) у′=6х-6х2
2. Найти стационарные (f′(x)=0) и критические точки (f′(x) не существует) лежащие внутри отрезка [а;b] 6х-6х2=0 6х(1-х)=0 х=0 или х=1
3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в отобранных точках (см. п.2) у (-4)=3∙16-2∙(-64)+1=177 у (0) =3∙0-2∙0+1=1
4. Выбрать наименьшее значение (уmin) ymin =1
Ответ: 1
Критических точек нет

Реши самостоятельно!
Ответ: 0
Проверь себя:
у(1)=-1 у(3)=-3 у(2)=0

Реши самостоятельно!
Ответ: -32
Проверь себя:
у(-2)=-5 у(2)=-25 у(1)=-32

Реши самостоятельно!
Ответ: 108
Проверь себя:
у(-1)=-242 у(7)=54 у(4)=108

5. Найдите наименьшее значение функции
Ответ: 8
на отрезке [2;8]
Стационарные точки х=-4;4
Критическая точка х=0

Реши самостоятельно!
Ответ: -7
Проверь себя:
у(-14)=-10,5 у(-1)=-43 у(-7)=-7
х=-7, х=7, х≠0

Реши самостоятельно!
Ответ: -25
Проверь себя:
у(-10)=-75 у(-1)=-201 у(-5)=-25

5. Найдите наибольшее значение функции
Ответ: 11
на отрезке [-4;4]
Стационарная точка х=-8,5
Критическая точка х=-5

Использован материал рабочей тетради С.А. Шестакова «ЕГЭ 2012. Математика. Задача В14. Исследование функции»