Презентация - Задачи на смеси и сплавы

Мастеркласс

Задачи на смеси и сплавы, концентрацию
Ефимова Галина Павловна учитель математики Лицея №3 города Тулы

1 тип задачи на проценты:
Найти р% от числа А: перевести р% в десятичную дробь,т.е.р%=0,01р умножить А на эту дробь

2 тип задачи на проценты:
Найти число А по его р %: перевести р % в десятичную дробь,т.е.р%=0,01р разделить А на эту дробь

3 тип задачи на проценты:
Сколько % составляет число А от числа В: А разделить на В и умножить на 100%

Примеры
Что нужно сделать, чтобы найти: 5% от 70; 120% от 55; 0,23% от 46 Как найти число, если 22% от него составляют 56; 154% от него составляют 71; 0,03% от него составляют 2 Как вычислить, сколько % составляет 5 от 27; 76 от 23; 123 от 5

Расширяем задачи 1 типа.
Увеличить число А на р%: 100%+р% переводим в десятичную дробь, получаем 1+0,01р и умножаем А на эту дробь Уменьшить число А на р%: 100%-р% переводим в десятичную дробь, получаем 1-0,01р и умножаем А на эту дробь

Задачи
Что нужно сделать, чтобы : увеличить число 77 на 10%; на 125%; на 0,05% уменьшить число 567 на 35%; на 2%; на 0, 12%? Денежный вклад в размере 1500 р за год возрастает на 8%.Какова будет сумма вклада через 5 лет? 1500×1,08⁵ Число А сперва увеличить , а затем уменьшить на р%: А(1+0,01р)(1-0,01р)=А(1-0,0001р²)

Задачи
Цену А товара сперва повысили, затем снизили на 20%.Как изменилась цена товара? (А×1,2×0,8=0,96А; цена снизилась на 4%) По Эрдниеву: А увеличили на р%. На сколько % надо уменьшить получившееся значение, чтобы значение А стало прежним? А(1+0,01р)(1-0,01х)=А из чего следует х=р/(1+0,01р) И наоборот, А сперва уменьшили на р% . На сколько % надо увеличить получившееся число, чтобы А осталось прежним? А(1-0,01р)(1+0,01х)=А ; х=р/(1-0,01р)

Задачи
Цена товара была повышена на 12%.На сколько % надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную? х=12/(1+0,12)=10 5/7% Производительность труда на заводе снизилась на 20%.На сколько % надо ее повысить, чтобы достигнуть первоначальной? х=20/(1-0,2)= 25% Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько % надо повысить производительность труда, чтобы зарплата осталась прежней? 8А=7(1+0,01р)А; р=14 2/7%

Задачи
На сколько % снизилась производительность труда, если для выполнения плана пришлось рабочий день увеличить с 7 до 8 часов? 7А=8(1-0,01р)А; р=12,5% Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько надо повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 12%? 7(1+0,01р)А=8(1,12А); р=28%

Задачи
В сосуде содержится 5л 20% водного раствора кислоты. Сколько л воды необходимо добавить в этот сосуд, чтобы получить5% раствор кислоты? 5×0,2=1л 1/(5+х)=0,05; х=15л Один сплав содержит два металла, массы которых относятся как 2:3, а в другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3:7.Какие массы первого и второго сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой 1,5 кг, в котором эти металлы находились бы в отношении 1:2?

Решение
В третьем сплаве отношение металлов 1:2, следовательно 0,5 кг первого и 1 кг второго металлов. Если взять за х кг вес первого сплава, который нужно взять для третьего сплава, то в нем будет 0,4х кг первого металла, а в оставшихся ( 1,5-х)кг второго сплав будет 0,3(1,5-х) кг первого металла. Т.к. первого металла всего 0,5 кг, то получаем уравнение: 0,4х+0,3(1,5-х)=0,5 из чего находим : х=0,5кг -первого сплава, следовательно, 1кг-второго сплава.

Задачи с аналитической моделью
Имеются три слитка. Масса первого 5кг, второго-3кг, и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем. х=10; р=0,69 Ответ:10кг; 69%.

Задача с параметром
В сосуде емкостью 6л содержится 4л 40% уксусной кислоты. Другой сосуд содержит 5л такой же р% кислоты. Сколько литров кислоты из второго сосуда надо долить в первый, чтобы получить кислоту максимальной концентрации? Найти эту концентрацию. х л-объем кислоты, долитой из второго сосуда в первый; х є[0;2] а) если р є[0;40), то во втором сосуде находится более слабая кислота, чем в первом. х=0; максимальная концентрация 0,4. б) если р=40, то концентрация в первом и втором сосудах одинаковая и можно добавлять любое х количество кислоты из второго сосуда, лишь бы оно удовлетворяло условию х є[0;2]

Решение
в) если рє(40;100], то концентрация кислоты во втором сосуде ,больше чем в первом. х=2л 0,4×4=1,6 л 0,01р×2=0,02р л ( 1,6+0,02р)/6 -максимально возможная концентрация Ответ: при рє[0;40) х=0; макс.конц. 0,4 при р=40 х є[0;2]; макс.конц. 0,4 при рє(40;100], х=2; макс.конц. ( 1,6+0,02р)/6

Задача с параметром
Имеется два куска сплавов меди и серебра: первый массой 2 кг и содержит 30% меди, второй массой 3 кг и содержит 40% меди. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым куском, чтобы получить новый сплав , содержащий р% меди? Решение: 0,3×2=0,6 кг меди в первом сплаве 0,4х кг меди в х кг второго сплава 2+х масса нового сплава 0,6+0,4х кг масса меди в новом сплаве (0,6+0,4х)/(2+х)=0,01р откуда находим значение х х=2(р-30)/(40-р). Ограничения на р находим из условия хє[0;3]

продолжение
Т.к.х≥0,то 2(р-30)/(40-р)≥0, решение которого рє[30;40) Т.к.х≤3, то 2(р-30)/(40-р)≤3,откуда рє[0;36]U(40;100] Учитывая решения двух неравенств, окончательно имеем: рє[30;36]. Т.о., при рє[0;30)U(36;100] х=ø; при рє[30;36] х= 2(р-30)/(40-р) кг

Литература
Газета «Математика»№№ 20,22,23,25-26 за 2004 год. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике (А.Н.Руркин, Москва «ВАКО» 2006) Методическое пособие по математике для поступающих в Финансовую академию (под ред. В.А. Бабайцева и А.А.Рылова, Москва 2003)