Презентация - Взаимное положение прямой и плоскости

План лекции Параллельность прямой и плоскости 1 2 Пересечение прямой и плоскости Пересечение двух плоскостей 4 3 Параллельность двух плоскостей

1. Параллельность прямой и плоскости Прямая параллельна плоскости , если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей в заданной плоскости.

X А 2 В 2 А 1 В 1 С 2 С 1 Задача. Через точку М провести прямую, параллельную плоскости АВС . М 2 М 1 1. Параллельность прямой и плоскости Алгоритм решения: 1. В плоскости АВС провести любую прямую (А1); 1 1 1 2 2. Через точку М провести прямую (М N ) , параллельную прямой (А1); N 1 N 2 Примечание: В качестве произвольной прямой может быть выбрана одна из сторон фигуры, ограничивающей плоскость

2. Пересечение прямой и плоскости Задачи на определение пересечения (общих элементов) заданных поверхностей называются позиционными .

2. Пересечение прямой и плоскости Алгоритм решения: 1. Через прямую (АВ) ввести вспомогательную проецирующую плоскость P ; 2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной; Определение точки пересечения прямой и плоскости P В А 1 2 3. Определить точку пересечения построенной линии с заданной; К 4. Определить видимость . Q

X А 2 В 2 А 1 В 1 С 2 С 1 Задача. Определить точку пересечения прямой (АВ) и плоскости DEF . E 2 E 1 2. Пересечение прямой и плоскости Дано: АВС : А(110, 70, 40), В(50, 0, 70), С(20, 40, 20) ; ( EF ) : E(90, 10, 20), F(10, 70, 65) ; 2 1 2 2 1. Р: P П2, ( EF ) ϵ P ; F 1 F 2 1 1 1 2 К 1 К 2 Найти: К АВС ( EF ) Решение: Р 2 2. (12) Р АВС ; 3. К (12) ( EF ) ; 4 . Определить видимость прямой ( EF ) с помощью конкурирующих точек . 3 2 3 1 4 1 5 1 5 1 4 1

3. Параллельность двух плоскостей Две плоскости параллельны , если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

X А 2 В 2 А 1 В 1 С 2 С 1 Задача. Через точку М провести плоскость, параллельную плоскости АВС . М 2 М 1 3. Параллельность двух плоскостей Алгоритм решения: 1. В плоскости АВС выбрать две пересекающиеся прямые, например, (АВ) и (АС); 2. Через точку М провести прямые (М N ) и ( ML ) , параллельные выбранным прямым (АВ) и (АС), соответственно; N 1 N 2 Пересекающиеся прямые (М N ) и ( ML ) задают искомую плоскость. L 1 L 2

Замечание . Если плоскости параллельны, то их одноименные следы также параллельны. 3. Параллельность двух плоскостей 1. Р П1 // Q П1 2. Р П2 // Q П2 Р // Q X Q П2 Q X Q П1 Р П2 Р X Р П1

4. Пересечение двух плоскостей Пересечение проецирующих плоскостей Пересечение плоскости общего положения и проецирующей Пересечение плоскостей общего положения

X А 2 В 2 А 1 В 1 С 2 С 1 Задача. Определить точку пересечения плоскостей АВС и DEF . 4. Пересечение плоскостей Дано: АВС П 1 ; DEF П 1 . 1. Так как заданные плоскости горизонтально-проецирующие, то на горизонтальной плоскости проекций их общим элементом является горизонтально-проецирующая прямая ( MN ) ; D 1 D 2 M 1 N 1 M 2 Найти: (MN) АВС D EF Решение: 2 . Определить видимость плоскостей. E 1 E 2 F 1 F 2 N 2

X А 2 В 2 А 1 В 1 С 2 С 1 Задача. Определить точку пересечения плоскостей АВС и DEF . 4. Пересечение плоскостей Дано: АВС ; DEF П 1 . 1. Так как одна из заданных плоскостей горизонтально-проецирующая, то на горизонтальной плоскости проекций их общим элементом является прямая ( MN ), горизонтальная проекция которой совпадает с проекцией горизонтально-проецирующая плоскости DEF ; D 1 D 2 M 1 M 2 Найти: (MN) АВС D EF Решение: 3. Определить видимость плоскостей. E 1 E 2 F 1 F 2 N 2 N 1 2 . Фронтальная проекция строится по линиям связи.

E 4. Пересечение плоскостей Алгоритм решения: 1. Ввести вспомогательную проецирующую плоскость; 2. Найти линии пересечения вспомогательной плоскости с заданными; Определение линии пересечения плоскостей общего положения 3. Определить точку пересечения построенных линий; 8. Определить видимость . Q А В D С F 1 2 3 4 M P 5 6 7 8 N 5. Найти линии пересечения вспомогательной плоскости с заданными; 6. Определить точку пересечения построенных линий; 4. Ввести вспомогательную проецирующую плоскость; 7. Найденные точки задают искомую линию пересечения;

X А 2 В 2 А 1 В 1 С 2 С 1 Задача. Определить линию пересечения двух плоскостей. 4. Пересечение плоскостей Дано: АВС : А(120, 15, 0), В(70, 70, 50), С (10, 35, 25); DEF : D( 3 0 , 7 0 , 0 ) Е (105, 10, 40), F ( 6 0 , 10 , 6 0) . 1. Р : ( DE ) ϵ P, P П 1 ; D 1 D 2 M 1 M 2 Найти: (MN) АВС D EF Решение: 7 . (MN) – искомая линия пересечения плоскостей; E 1 E 2 F 1 F 2 N 2 N 1 0 Р 1 2. ( 12 ) Р АВС ; 2 2 2 1 1 2 1 1 3. М (12) ( DE ) ; 4 . Q : ( DF ) ϵ Q, Q П 1 ; Q 1 4 2 4 1 3 2 3 1 5 . (34) Q АВС ; 6 . N ( 34 ) ( DF ) ; 8. Определить видимость плоскостей.