Презентация - Методы решения логарифмических уравнений

МОУ лицей №1 г. Комсомольск –на - Амуре
Учитель математики: О.С. Чупрова 2007 г.

1.Уравнения, решаемые по определению
logab=c, ac =b, a>0, a≠1, b>0

Пример:
log3(2-x)=2 ОДЗ: 2-x>0 2-x=32 x<2 2-x=9 -x=6 x=-6 Ответ: x=-6

2.Уравнения, решаемые с использованием основных свойств
loga(bc) =loga│b│+loga│c│ loga(b/c)=loga│b│- loga│c│ logabp=ploga│b│

Пример:
log2(x+1)+log2(x+2)=1 ОДЗ: x+1>0 x>-1 log2(x+1)(x+2)=1 x+2>0 x>-2 (x+1)(x+2)=21 х>-1 x2+3x=0 x(x+3)=0 x1=0 x2=-3(не уд. ОДЗ) Ответ: x=0

3.Метод потенцирования
f(x)>0 logaf(x)=logag(x) g(x)>0 f(x)=g(x)

Пример:
lg(x-4)+lg(x-6)=lg8 ОДЗ: x-4>0 x>4 x>6 lg(x-4)(x-6)=lg8 x-6>0 x>6 (x-4)(x-6)=8 x2-10x+16=0 x1=8 x2=2 (не уд. ОДЗ) Ответ: x=8

4.Метод подстановки
а)Уравнения, сводящиеся к квадратным Пример1: lg2x-3lgx+2=0 ОДЗ: x>0 пусть lgx=t, tєR t2-3t+2=0 t1=1 t2=2 если t1=1, то если t2=2, то lgx=1 lgx=2 x=10 x=100 Ответ: x1=10, x2=100

Пример2: lg2(10x)=5-lgx ОДЗ: x>0 (lg10+lgx)2=5-lgx 1+2lgx+lg2x-5+lgx=0 lg2x+3lgx-4=0 пусть lgx=t t2+3t-4=0 t1=1; t2= - 4 если t1=1, то если t2= - 4,то lgx=1 lgx=-4 x=10 x=0,0001 Ответ: x1=10, x2=0,0001

б)Использование формулы
logab=1/logba

Пример: logx(9x2)log23x=4 ОДЗ: x>0 (logx9+logxx2)log23x=4 x≠1 (2logx3+2)log23x=4 (2/log3x+2)log23x=4 пусть log3x=t (2/t+2)t2=4 2t2+2t-4=0 t1=1; t2=-2 если t1=1, то если t2=-2, то log3x=1; x1=3; log3x=-2. x2=1/9. Ответ: x1=3, x2=1/9

5.Метод приведения к одному основанию
logab=logсb/logca a>0,b>0, c>0 a≠1, c ≠1

Пример:
log2x+log4x+log8x=11 ОДЗ:x>0 log2x+log22x+log23x=11 log2x+1/2log2x+1/3log2x=11 11/6log2x=11 log2x=6 x=26 x=64 Ответ: x=64

6.Метод логарифмирования
logabр=рlogab b>0; a>0; a≠1

Пример:
x (lgx+5)/3 =105+lgx ОДЗ:x>0 прологарифмируем уравнение по основанию 10 lgx(lgx+5)/3=lg105+lgx ((lgx+5)/3)lgx=(5+lgx)lg10 1/3(lgx+5)lgx=5+lgx|*3 (lgx+5)lgx=15+3lgx lg2x+5lgx=15+3lgx lg2x+2lgx-15=0 пусть lgx=t t2+2t-15=0 t1=-5; t2=3 если t1=-5, то lgx=-5 если t2=3, то lgx=3 x1=0,00001 x2=1000 Ответ: x1=0,00001, x2=1000

7.Использование специальной формулы
a logсb = b logсa b>0;b≠1 a>0; a≠1; с>0; с≠1

Пример:
3xlog52+2log5x=64 ОДЗ: x>0 3*2log5x+2log5x=64 4*2log5x=64 |:4 2log5x=16 2log5x=24 log5x=4 x=54 x=625 Ответ: x=625

8.Использование свойств монотонности функции
Пример: log3(x+1)+log4(5x+6)=3 ОДЗ: x> -1,2 y= log3(x+1) - возрастающая функция y= log4(5x+6)- возрастающая функция 3 - const Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции. Используем утверждение: если возр. функция равна const или убыв. функции, тогда уравнение имеет один корень, который находится с помощью метода подбора. Ответ: x=2

9.Использование свойств ограниченности функции
Пример: log2(17-|sin0,5πx|)=√2x+15-x2 1)рассмотрим левую часть т.к. 0≤ |sin0,5πx| ≥ 1 ,то log2(17-|sin0,5πx|) ≥log2(17-1)=log216=4 т.е. 0≤ |sin0,5πx| ≥ 4 при x=1 - достигается равенство 2)рассмотрим правую часть √2x+15-x2= √16-(x+1) ≤ √16=4=16-(x-1)2 √2x+15-x2≤4 при x=1 – достигается равенство Ответ: x=1

10.Однородные уравнения II степени
ax2+bxy+cy2=0|:y2≠0 a(x/y)2+b(x/y)+c=0 at2+bt+c=0

Пример:
3log22(x+1)-4log2(2x+1)log2(x+1)+log22(2x+1)=0 Делим на log22(2x+1) ОДЗ: x>1/2 3(log2(x+1)/log2(2x+1))2-4log2(2x+1)log2(x+1)/log22(2x+1)+1=0 t 3t2-4t+1=0 t1=1 t2=1/3 если t1=1 то, если t2=1/3 то, log2(x+1)/log2(2x+1)=1 log2(x+1)/log2(2x+1)=1/3 log2(x+1)=log2(2x+1) 3log2(x+1)=log2(2x+1) x+1=2x+1 log2(x+1)3=2x+1 x=0 x(x2+3x+1)=0 x1=0 x2=(-3+√5)/2 x3=(-3-√5)/2 Ответ: x1=0, x2= =(-3+√5)/2 не уд.

11.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и показателе степени
Пример: x√x=√xx ОДЗ: x>0, logx x√x =logx √xx x≠ 1 logx xx0,5 =logx (x0,5)x √xlogx x=0,5logxx √x=0,5x √x(1-0,5√x)=0 √x=0 (не уд.ОДЗ) (1-0,5√x)=0 √x=2 x=4 Ответ: x=4

12.Функционально - графический метод
(х – 1) = log2x Строим графики функций у = (х – 1) и у = log2x. Ответ: х = 1, х=2.
у
х

Решить самостоятельно
lq(х²-2х)=lg30-1; lg(x²+2x-3)=lg(6X-2); log3X*lоg2х =4 log32; log3X+log9X+log27X=1/12; log5(X-l0)-log5(X+2)=-1; 3+ 2logX+13=2log3(X+1).

Литература:
Математика. Тренировочные тематические задания ЕГЭ повышенной сложности. Сост. Г.И. Ковалева и др. «Учитель». Волгоград. 2005. Математика. ЕГЭ. Эффективная подготовка. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. «Экзамен». Москва. 2007.